Задачи из решебника Мещерского онлайн
Динамика:
Динамика космического полета
§ 51. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы)
Задачи с решениями
51.1 Модуль силы всемирного тяготения, действующий на материальную точку массы m, определяется равенством F = mμ/r2, где μ = fМ— гравитационный параметр притягивающего центра (М — его масса, f—гравитационная постоянная) и r—расстояние от центра притяжения до притягиваемой точки. Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на его поверхности, определить гравитационный параметр ц небесного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус R =6370 км, а g = 9,81 м/с2.
РЕШЕНИЕ
51.2 Определить гравитационный параметр и ускорение силы тяжести gn на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы Мn и радиуса Rn к массе М и радиусу R Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для которых соответствующие отношения даны в следующей таблице
РЕШЕНИЕ
51.3 Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте H над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость движения v1 и период обращения Т материальной точки.
РЕШЕНИЕ
51.4 Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над поверхностью небесного тела, определить первую космическую скорость v1 и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны. Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ
51.5 На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
РЕШЕНИЕ
51.6 Под каким углом β пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он движется по круговой орбите высоты H, наклоненной под углом α к плоскости экватора?
РЕШЕНИЕ
51.7 Точка массы m притягивается к неподвижному центру по закону всемирного тяготения F = mμ/r2, где μ—гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии.
РЕШЕНИЕ
51.8 Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса R равна его кинетической энергии.
РЕШЕНИЕ
51.9 Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности v∞= 10 км/с.
РЕШЕНИЕ
51.10 Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?
РЕШЕНИЕ
51.11 Определить вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ
51.12 Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол φ, определить скорость и ускорение точки *).
РЕШЕНИЕ
51.13 Точка массы m движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид где р и е — параметр и эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием которой движется точка.
РЕШЕНИЕ
51.14 Точка массы m притягивается к неподвижному полюсу по закону всемирного тяготения F = mμ/r2. Найти траекторию движения точки.
РЕШЕНИЕ
51.15 Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей c = = r2 φ=|r x v|, определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.
РЕШЕНИЕ
51.16 В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей.
РЕШЕНИЕ
51.17 Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
РЕШЕНИЕ
51.18 Спутник движется около планеты радиуса R по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно γ<1.
РЕШЕНИЕ
51.19 Точка движется под действием силы всемирного тяготения F = mμ/r2. Выразить постоянную энергии h (см. задачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный параметр μ.
РЕШЕНИЕ
51.20 В начальный момент материальная точка, движущаяся по закону всемирного тяготения, находилась в положении M0 на расстоянии r0 от притягивающего центра и имела скорость v0 угол между вектором скорости v0 и линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности, центр которой совпадает с центром притяжения) равнялся θ0, а полярный угол был равен φ0. Определить эксцентриситет e и угол ε между полярной осью и фокусной линией конического сечения
РЕШЕНИЕ
51.21 Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты R.
РЕШЕНИЕ
51.22. Какую нужно сообщить начальную скорость v0 = v3 материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы.
РЕШЕНИЕ
51.23 В момент отделения космического аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке М0 на высоте Н = 230 км от поверхности Земли и имел начальную скорость v0 = 8,0 км/с, причем вектор скорости Vo составлял с линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности радиуса r0) угол θ0 = 0,02 рад. Определить постоянную площадей c, параметр p траектории, постоянную энергии h, направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траектории, апогей (Нmах) и периг гей (Hmin) и период Т обращения спутника.
РЕШЕНИЕ
51.24 При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
РЕШЕНИЕ
51.25 При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте И от поверхности планеты радиуса R, не пересечет ее поверхности?
РЕШЕНИЕ
51.26 Найти зависимость между периодами Тi обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями ai, их эллиптических траекторий.
РЕШЕНИЕ
51.27 Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер — Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20*23000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
РЕШЕНИЕ
51.28 Под средним значением |r| радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством, где Т - период обращении. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если a — большая полуось, а е — эксцентриситет ее эллиптической траектории.
РЕШЕНИЕ
51.29 Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна из которых — круговая радиуса r0, а другая — эллиптическая с расстояниями перигея и апогея r0 и 8r0 соответственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты.
РЕШЕНИЕ
51.30 Определить связь между истинной φ и эксцентрической E аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.
РЕШЕНИЕ
51.31 Выразить скорость в любом точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.
РЕШЕНИЕ
51.32 Найти па эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.
РЕШЕНИЕ
51.33 Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра: где еr — орт радиус-вектора r, проведенного из центра притяжения, (φ — истинная, а Е— эксцентрическая аномалии, найти выражения для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орбитальной и инерциальной системах координат.
РЕШЕНИЕ
51.34 В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего значения?
РЕШЕНИЕ
51.35 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения радиального импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите.
РЕШЕНИЕ
51.36 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения тангенциального (касательного) импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите Т1
РЕШЕНИЕ
51.37 Спутник движется по круговой околоземной орбите радиуса r. Определить величину радиального импульса скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем r1
РЕШЕНИЕ
51.38 Космический корабль движется со скоростью v =30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус r1= 150*10^6 км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (r2 = 228*10^6 км)? Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (r3 = 108*106^ км).
РЕШЕНИЕ
51.39 Спутник движется по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея и апогея соответственно r1 и r2. Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Н.
РЕШЕНИЕ
51.40 Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости м выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности и . При каком радиусе r0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
51.2 Определить гравитационный параметр и ускорение силы тяжести gn на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы Мn и радиуса Rn к массе М и радиусу R Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для которых соответствующие отношения даны в следующей таблице
РЕШЕНИЕ
51.3 Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте H над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость движения v1 и период обращения Т материальной точки.
РЕШЕНИЕ
51.4 Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над поверхностью небесного тела, определить первую космическую скорость v1 и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны. Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ
51.5 На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
РЕШЕНИЕ
51.6 Под каким углом β пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он движется по круговой орбите высоты H, наклоненной под углом α к плоскости экватора?
РЕШЕНИЕ
51.7 Точка массы m притягивается к неподвижному центру по закону всемирного тяготения F = mμ/r2, где μ—гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии.
РЕШЕНИЕ
51.8 Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса R равна его кинетической энергии.
РЕШЕНИЕ
51.9 Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности v∞= 10 км/с.
РЕШЕНИЕ
51.10 Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?
РЕШЕНИЕ
51.11 Определить вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
РЕШЕНИЕ
51.12 Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол φ, определить скорость и ускорение точки *).
РЕШЕНИЕ
51.13 Точка массы m движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид где р и е — параметр и эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием которой движется точка.
РЕШЕНИЕ
51.14 Точка массы m притягивается к неподвижному полюсу по закону всемирного тяготения F = mμ/r2. Найти траекторию движения точки.
РЕШЕНИЕ
51.15 Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей c = = r2 φ=|r x v|, определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.
РЕШЕНИЕ
51.16 В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей.
РЕШЕНИЕ
51.17 Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
РЕШЕНИЕ
51.18 Спутник движется около планеты радиуса R по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно γ<1.
РЕШЕНИЕ
51.19 Точка движется под действием силы всемирного тяготения F = mμ/r2. Выразить постоянную энергии h (см. задачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный параметр μ.
РЕШЕНИЕ
51.20 В начальный момент материальная точка, движущаяся по закону всемирного тяготения, находилась в положении M0 на расстоянии r0 от притягивающего центра и имела скорость v0 угол между вектором скорости v0 и линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности, центр которой совпадает с центром притяжения) равнялся θ0, а полярный угол был равен φ0. Определить эксцентриситет e и угол ε между полярной осью и фокусной линией конического сечения
РЕШЕНИЕ
51.21 Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты R.
РЕШЕНИЕ
51.22. Какую нужно сообщить начальную скорость v0 = v3 материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы.
РЕШЕНИЕ
51.23 В момент отделения космического аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке М0 на высоте Н = 230 км от поверхности Земли и имел начальную скорость v0 = 8,0 км/с, причем вектор скорости Vo составлял с линией горизонта (касательной, проведенной в точке М0 к окружности радиуса r0) угол θ0 = 0,02 рад. Определить постоянную площадей c, параметр p траектории, постоянную энергии h, направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траектории, апогей (Нmах) и периг гей (Hmin) и период Т обращения спутника.
РЕШЕНИЕ
51.24 При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
РЕШЕНИЕ
51.25 При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте И от поверхности планеты радиуса R, не пересечет ее поверхности?
РЕШЕНИЕ
51.26 Найти зависимость между периодами Тi обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями ai, их эллиптических траекторий.
РЕШЕНИЕ
51.27 Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер — Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20*23000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
РЕШЕНИЕ
51.28 Под средним значением |r| радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством, где Т - период обращении. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если a — большая полуось, а е — эксцентриситет ее эллиптической траектории.
РЕШЕНИЕ
51.29 Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна из которых — круговая радиуса r0, а другая — эллиптическая с расстояниями перигея и апогея r0 и 8r0 соответственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты.
РЕШЕНИЕ
51.30 Определить связь между истинной φ и эксцентрической E аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.
РЕШЕНИЕ
51.31 Выразить скорость в любом точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.
РЕШЕНИЕ
51.32 Найти па эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.
РЕШЕНИЕ
51.33 Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра: где еr — орт радиус-вектора r, проведенного из центра притяжения, (φ — истинная, а Е— эксцентрическая аномалии, найти выражения для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орбитальной и инерциальной системах координат.
РЕШЕНИЕ
51.34 В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего значения?
РЕШЕНИЕ
51.35 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения радиального импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите.
РЕШЕНИЕ
51.36 Спутник движется по круговой орбите радиуса r, делая один оборот за время Т. В результате получения тангенциального (касательного) импульса скорости величины и он переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите Т1
РЕШЕНИЕ
51.37 Спутник движется по круговой околоземной орбите радиуса r. Определить величину радиального импульса скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем r1
РЕШЕНИЕ
51.38 Космический корабль движется со скоростью v =30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус r1= 150*10^6 км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (r2 = 228*10^6 км)? Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (r3 = 108*106^ км).
РЕШЕНИЕ
51.39 Спутник движется по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея и апогея соответственно r1 и r2. Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Н.
РЕШЕНИЕ
51.40 Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости м выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности и . При каком радиусе r0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?
РЕШЕНИЕ