Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.
Кинематика :
Сложное движение твердого тела
§ 24. Сложение движений тела
Задачи с решениями
24.1 Кривошип III соединяет оси O1 и O2 двух зубчатых колес I и II, причем зацепление может быть или внешнее, или внутреннее, как указано на рисунке, колесо I остается неподвижным, а кривошип III вращается вокруг оси O1 с угловой скоростью ω3. Зная радиусы колес r1 и r2, вычислить для колеса II его абсолютную угловую скорость ω2 и его относительную угловую скорость ω23 по отношению к кривошипу.
РЕШЕНИЕ
24.2 Найти относительную и абсолютную угловые скорости зубчатого колеса II радиуса r, катящегося по неподвижному зубчатому колесу I с тем же радиусом и приводящегося в движение кривошипом III, вращающимся вокруг оси неподвижного колеса O с угловой скоростью ω0; движение кривошипа OA принять за переносное.
РЕШЕНИЕ
24.3 Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом: стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси O1 с угловой скоростью ω4; на конце стержня O2 находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса r2. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса r3. При этом, благодаря трению, колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса r1, свободно насаженное на ось O1 и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу r3 наружной неподвижной обоймы найти такое значение r1, чтобы было ω1/ω4=12, т.е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.
РЕШЕНИЕ
24.4 Найти число оборотов в минуту шестерни с числом зубцов z3=25, если кривошип OA вращается вокруг оси O неподвижной шестерни (с числом зубцов z0=60) с угловой скоростью, соответствующей n0=30 об/мин, и несет на себе ось двойной шестерни с числами зубцов z1=40, z2=50.
РЕШЕНИЕ
24.5 В эпициклическом механизме, применяемом в конных приводах молотилок, водило OA и колесо I радиуса r1 насажены на вал O свободно; ось O1 колеса II укреплена на водиле, а колесо III радиуса r3 может свободно вращаться вокруг оси O. Определить угловую скорость ω1 колеса I, если водилу OA сообщена угловая скорость ω0, а колесу III от другого двигателя (тоже конного) сообщена угловая скорость ω3 противоположного направления.
РЕШЕНИЕ
24.6 Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес. Первое колесо (число зубцов z1=20) насажено на ведущий вал I, делающий n1=4500 об/мин, второе (z2=25) свободно насажено на ось, жестко связанную с ведомым валом II, третье колесо (z3=70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти число оборотов в минуту ведомого вала и бегающего колеса.
РЕШЕНИЕ
24.7 Ведущий вал I редуктора делает n1=1200 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала II, если неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет z1=180 зубцов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют z2=60 и z3=40 зубцов; шестеренка, закрепленная на ведомом валу, имеет z4=80 зубцов.
РЕШЕНИЕ
24.8 Редуктор скоростей состоит из неподвижной шестеренки радиуса r1=40 см, двух бегающих шестеренок радиусов r2=20 см и r3=30 см, спаренных между собой, и шестеренки с внутренним зацеплением радиуса r4=90 см, сидящей на ведомом валу. Ведущий вал и кривошип, несущий оси бегающих шестеренок, делают n1=1800 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала
РЕШЕНИЕ
24.9 Редуктор скоростей с планетарной передачей состоит из неподвижного солнечного колеса 1, жестко связанного с валом I, рамки, свободно вращающейся вокруг осей I и II с угловой скоростью Ω, двух шестеренок 2 и 3, жестко связанных между собой и свободно насаженных на ось EF, вращающуюся вместе с рамкой, и ведомой шестерни 4, жестко связанной с валом II. Определить отношение угловой скорости вала II к угловой скорости рамки, если шестеренки имеют следующее число зубцов: z1=49, z2=50, z3=51, z4=50.
РЕШЕНИЕ
24.10 Найти угловую скорость ωII ведомого вала редуктора с дифференциальной передачей, если ведущий вал с кривошипом, несущим на себе передаточные шестеренки, спаренные между собой, вращается с угловой скоростью ωI=120 рад/с. Колесо I вращается с угловой скоростью ω1=180 рад/с и имеет число зубцов z1=80; бегающие колеса имеют числа зубцов: z2=20, z3=40, а колесо, сидящее на ведомом валу, имеет z4=60 зубцов. Колесо I и ведущий вал вращаются в одном направлении.
РЕШЕНИЕ
24.11 Редуктор скоростей с дифференциальной передачей состоит из четырех зубчатых колес, из которых первое — с внутренним зацеплением — делает 160 об/мин и имеет z1=70 зубцов; второе и третье спарены между собой и сидят на оси, вращающейся вокруг оси ведущего вала I вместе с последним, делая n1=1200 об/мин; числа зубцов: z2=20, z3=30; четвертое — с внутренним зацеплением — имеет z4=80 зубцов и заклинено на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если вал I и колесо 1 вращаются в противоположных направлениях.
РЕШЕНИЕ
24.12 Редуктор скоростей имеет неподвижную шестеренку 1, спаренные между собой подвижные шестеренки 2 и 3 с внутренним зацеплением и шестерню 4, заклиненную на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов равны z1=3, z2=80, z3=70, z4=20; ведущий вал вращается с угловой скоростью, соответствующей nI=1200 об/мин.
РЕШЕНИЕ
24.13 В блоке системы Триплекс на валу a — a жестко насажен цепной блок A; на тот же вал свободно насажена втулка b с подъемной цепью и грузом, наглухо соединенная с рукояткой B. На каждый палец рукоятки свободно насажены две шестерни II и III, спаренные между собой, шестерни II сцеплены с шестерней I, заклиненной на валу a — a, шестеренки III сцеплены с неподвижным зубчатым колесом IV. Определить отношение угловых скоростей вращения вала a — a и втулки b, если числа зубцов колес I, II, III и IV соответственно равны: z1=12, z2=28, z3=14, z4=54.
РЕШЕНИЕ
24.14 В цилиндрическом дифференциале зубчатое колесо радиуса R свободно насажено на вал I — I и несет на себе шестерни радиусов r2 и r3, спаренные друг с другом. Колесо R приводится в движение шестеренкой радиуса r0. Шестеренки радиусов r2 и r3 зацепляются с шестеренками радиусов r1 и r4, заклиненными соответственно на валах I — I и II, из которых последний выполнен в виде втулки. Найти угловую скорость вала II, если известны угловые скорости вращения n1 и n0 валов I — I и O — O, причем эти валы вращаются по одну сторону.
РЕШЕНИЕ
24.15 В планетарном приводе картофелекопателя центральная шестеренка a, совершающая поступательное прямолинейное равномерное движение вместе со своей осью, соединена при помощи паразитных шестеренок b с подвижными шестеренками c, к втулкам которых прикреплены крылья d; оси шестеренок b и c насажены на водило S, вращающееся вокруг оси центральной шестеренки a с угловой скоростью ω0. Определить абсолютную угловую скорость шестеренок, а также характер движения крыльев, если радиусы всех шестеренок одинаковы.
РЕШЕНИЕ
24.16 Кривошип OA с противовесом B вращается с угловой скоростью ω0=const вокруг оси O неподвижной шестеренки и несет на конце A ось другой шестеренки того же размера, соединенной с цепью. Определить угловую скорость и угловое ускорение подвижной шестеренки, а также скорость и ускорение произвольной ее точки M, если длина кривошипа OA=l.
РЕШЕНИЕ
24.17 В эпициклической передаче ведущая шестерня радиуса R вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω0 и угловым ускорением ε0, кривошип длины 3R вращается вокруг ее оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью и тем же угловым ускорением. Наити скорость и ускорение точки M ведомой шестерни радиуса R, лежащей на конце диаметра, перпендикулярного в данный момент кривошипу.
РЕШЕНИЕ
24.18 Даны два конических зубчатых колеса, оси которых неподвижны, а соответственные углы равны α и β. Первое колесо вращается с угловой скоростью ω1. Определить угловую скорость ω2 второго колеса и вычислить ее в том случае, когда α=30°, β=60°, ω1=10 об/мин.
РЕШЕНИЕ
24.19 Карусель представляет собой круглую площадку AB, которая вращается вокруг оси OC, проходящей через ее центр D, делая 6 об/мин, а ось OC вращается в том же направлении вокруг вертикали OE и делает 10 об/мин. Угол между осями α=20°, диаметр площадки AB равен 10 м, расстояние OD равно 2 м. Определить скорость v точки B в тот момент, когда она занимает самое низкое положение.
РЕШЕНИЕ
24.20 Шаровая дробилка состоит из полого шара II (в котором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению), сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое колесо E радиуса r. Ось CD сидит в подшипниках в раме I, составляющей одно целое с осью AB и приводящейся во вращение при помощи рукоятки G. Колесо E сцепляется с неподвижным колесом F радиуса R. Определить абсолютную угловую скорость шаровой дробилки, если рукоятка вращается с угловой скоростью ω0; угол между осями AB и CD равен α. Определить также абсолютное угловое ускорение шаровой дробилки, если угловая скорость рукоятки ω0=const.
РЕШЕНИЕ
24.21 Для растирания руды применяются бегуны в виде чугунных колес со стальными ободьями, катящимися по дну конической чаши. Бегуны вращаются вокруг горизонтальной оси AOB, которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси OO1, составляющей с осью AOB одно целое. Найти абсолютные скорости точек D и E обода бегуна, принимая, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину C линии касания обода бегуна с дном чаши. Скорость вращения вокруг вертикальной оси ωe=1 рад/с, ширина бегуна h=0,5 м. Средний радиус бегуна R=1 м, средний радиус вращения r=0,6 м, tg α=0,2.
РЕШЕНИЕ
24.22 Дифференциальная передача состоит из двух дисков AB и DE, центры которых находятся на их общей оси вращения; эти диски сжимают колесо MN, ось которого HI перпендикулярна оси дисков. Определить для колеса MN скорость v центра H и угловую скорость ωr вращения вокруг оси HI, если скорости точек касания колеса с дисками равны: v1=3 м/с, v2=4 м/с, радиус колеса r=0,05 м.
РЕШЕНИЕ
24.23 Сохранив условия предыдущей задачи и зная длину HI=1/14 м, определить абсолютную угловую скорость и абсолютное угловое ускорение колеса MN.
РЕШЕНИЕ
24.24 Волчок A вращается относительно своей оси симметрии OB с постоянной угловой скоростью ω1 рад/с. Ось OB описывает равномерно конус. За одну минуту вершина волчка B делает n оборотов; ∠BOS=α. Найти угловую скорость ω и угловое ускорение ε волчка.
РЕШЕНИЕ
24.25 Круглый диск вращается с угловой скоростью ω1 вокруг горизонтальной оси CD; одновременно ось CD вращается вокруг вертикальной оси AB, проходящей через центр O диска, с угловой скоростью ω2. Вычислить величину и направление мгновенной угловой скорости ω и мгновенного углового ускорения ε диска, если ω1=5 рад/с, ω2=3 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.26 Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ωr вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ωe вокруг вертикальной оси. Найти скорости и ускорения точек A и B, лежащих на концах вертикального диаметра диска.
РЕШЕНИЕ
24.27 Квадратная рама вращается вокруг оси AB, делая 2 об/мин. Вокруг оси BC, совпадающей с диагональю рамы, вращается диск, делая 2 об/мин. Определить абсолютную угловую скорость и угловое ускорение диска.
РЕШЕНИЕ
24.28 Ось мельничного бегуна OA вращается равномерно вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью Ω. Длина оси OA=R, радиус бегуна AC=r. Считая, что в данный момент точка C бегуна имеет скорость, равную нулю, определить угловую скорость бегуна ω, направление мгновенной оси, подвижный и неподвижный аксоиды.
РЕШЕНИЕ
24.29 Дифференциальная передача состоит из конического зубчатого колеса III (сателлита), насаженного свободно на кривошип IV, который может вращаться вокруг неподвижной оси CD. Сателлит соединен с коническими зубчатыми колесами I и II, вращающимися вокруг той же оси CD с угловыми скоростями ω1=5 рад/с и ω2=3 рад/с, причем вращения происходят в одну сторону. Радиус сателлита r=2 см, а радиусы колес I и II одинаковы и равны R=7 см. Определить угловую скорость ω4 кривошипа IV, угловую скорость ω34 сателлита по отношению к кривошипу и скорость точки A.
РЕШЕНИЕ
24.30 В дифференциальном механизме, рассмотренном в предыдущей задаче, конические зубчатые колеса I и II вращаются в разные стороны с угловыми скоростями ω1=7 рад/с, ω2=3 рад/с. Определить vA, ω4 и ω34, если R=5 см, r=2,5 см.
РЕШЕНИЕ
24.31 При движении автомобиля по закругленному пути внешние колеса автомобиля, проходя больший путь, должны вращаться быстрее внутренних колес, проходящих меньший путь. Во избежание поломки задней ведущей оси автомобиля применяется зубчатая передача, называемая дифференциальной и имеющая следующее устройство. Задняя ось, несущая два колеса, делается из двух отдельных частей I и II, на концах которых наглухо насажены два одинаковых зубчатых колеса A и B. На этих частях вала в подшипниках вращается коробка C с коническим колесом D, наглухо с ней соединенным. Коробка получает вращение от главного (продольного) вала, приводимого в движение мотором, через посредство зубчатки E. Вращение коробки C передается зубчатым колесам A и B при помощи двух конических шестеренок F (сателлитов), свободно вращающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендикулярно к задней оси I—II автомобиля. Найти угловые скорости задних колес автомобиля в зависимости от угловой скорости вращения коробки C и угловую скорость ωr сателлитов по отношению к коробке, если автомобиль движется со скоростью v=36 км/ч по закруглению среднего радиуса ρ=5 м; радиусы колес задней оси R=0,5 м; расстояние между ними l=2 м. Радиусы зубчатых колес A и B вдвое больше радиусов сателлитов: R0=2r.
РЕШЕНИЕ
24.32 При применении дифференциального зацепления для получения назначенного отношения чисел оборотов осей AB и MN к коническим колесам I и II дифференциального зацепления присоединяют наглухо цилиндрические зубчатые колеса I и II , которые сцепляются с шестеренками IV и V, насаженными наглухо на ось AB. Найти соотношение между угловыми скоростями ω0 и ω валов AB и MN, если радиусы колес I и II одинаковы, числа зубцов колес I , II , IV и V соответственно равны m, n, x, y.
РЕШЕНИЕ
24.33 В дифференциальной передаче, рассмотренной в предыдущей задаче, между зубчатыми колесами I и IV введено паразитное колесо с неподвижной осью вращения. Требуется найти соотношение между угловыми скоростями ω0 и ω валов AB и MN, сохраняя все остальные условия задачи.
РЕШЕНИЕ
24.34 Дифференциальная передача, соединяющая обе половины задней оси автомобиля, состоит из двух шестеренок с одинаковыми радиусами R=6 см, насаженных на полуоси, вращающиеся при движении автомобиля на повороте с разными, но постоянными по величине угловыми скоростями ω1=6 рад/с и ω2=4 рад/с одинакового направления. Между шестеренками зажат бегущий сателлит радиуса r=3 см, свободно насаженный на ось. Ось сателлита жестко заделана в кожухе и может вращаться вместе с ним вокруг задней оси автомобиля. Найти относительно корпуса автомобиля ускорения четырех точек M1, M2, M3 и M4 сателлита, лежащих на концах двух диаметров, как показано на рисунке.
РЕШЕНИЕ
24.35 В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 сидит на ведущем валу a свободно, вместе со скрепленным с ним жестко колесом 1. На конце ведущего вала a сидит головка, несущая ось CC сателлитов 2—2. Определить угловую скорость ведомого вала b с наглухо заклиненным колесом 3 в пяти случаях: 1) Угловая скорость ведущего вала ωa, угловая скорость ускорительного колеса ω4=0. 2) Угловая скорость ведущего вала ωa, ускорительное колесо вращается в ту же сторону, что и ведущий вал, с угловой скоростью ω4. 3) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону с равными угловыми скоростями ω4=ωa. 4) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону, причем ω4=2ωa. 5) Угловая скорость ведущего вала ωa, ускорительное колесо вращается в противоположную сторону с угловой скоростью ω4.
РЕШЕНИЕ
24.36 В дифференциале зуборезного станка, описанном в предыдущей задаче, угловая скорость ведущего вала ωa=60 об/мин. Определить, какова должна быть угловая скорость ускорительного колеса, чтобы ведомый вал был неподвижен.
РЕШЕНИЕ
24.37 В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 несет на себе ось сателлитов. Угловая скорость ведущего вала ωa. Определить угловую скорость ведомого вала в следующих трех случаях: 1) Ускорительное колесо 4 вращается в сторону ведущего вала с угловой скоростью ω4=ωa. 2) То же, но вращения ведущего вала и ускорительного колеса противоположны по направлению. 3) Ускорительное колесо и ось сателлитов неподвижны.
РЕШЕНИЕ
24.38 В станочном дифференциале коническое колесо 1 заклинено на ведущем валу a, на конце ведомого вала b сидит головка, несущая ось CC сателлитов 2—2. На том же валу свободно сидит коническое колесо 3, составляющее одно целое с червячным колесом 4. Определить передаточное число при неподвижном червяке 5, а следовательно, и колесах 4 и 3, если все конические колеса одного радиуса.
РЕШЕНИЕ
24.39 Двойной дифференциал состоит из кривошипа III, который может вращаться вокруг неподвижной оси ab. На кривошип свободно насажен сателлит IV, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусов r1=5 см и r2=2 см. Колеса эти соединены с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиусов R1=10 см и R2=5 см, вращающимися вокруг оси ab, но с кривошипом не связанными. Угловые скорости колес I и II соответственно равны: ω1=4,5 рад/с и ω2=9 рад/с. Определить угловую скорость кривошипа ω3 и угловую скорость сателлита по отношению к кривошипу ω43, если оба колеса вращаются в одну и ту же сторону.
РЕШЕНИЕ
24.40 Решить предыдущую задачу, предполагая, что зубчатые колеса I и II вращаются в противоположные стороны.
РЕШЕНИЕ
24.41 Крестовина ABCD универсального шарнира Кардана — Гука (AB⊥CD), употребляемого при передаче вращения между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной точки E. Найти отношение ω1/ω2 для валов, связанных крестовиной, в двух случаях: 1) когда плоскость вилки ABF горизонтальна, а плоскость вилки CDG вертикальна; 2) когда плоскость вилки ABF вертикальна, а плоскость вилки CDG ей перпендикулярна. Угол между осями валов постоянный: α=60°.
РЕШЕНИЕ
24.42 Шаровая дробилка состоит из полого шара диаметра d=10 см, сидящего на оси AB, на которой заклинено колесо с числом зубцов z4=28. Ось AB закреплена во вращающейся раме I в подшипниках a и b. Рама I составляет одно целое с осью CD, приводящейся во вращение при помощи рукоятки III. Вращение шаровой дробилки вокруг оси AB осуществляется при помощи зубчатых колес с числами зубцов z1=80, z2=43, z3=28, причем первое из них неподвижно. Определить абсолютную угловую скорость, угловое ускорение дробилки и скорости и ускорения двух точек E и F, лежащих в рассматриваемый момент времени на оси CD, если рукоятку вращают с постоянной угловой скоростью ω=4,3 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.43 Поворотная часть моста поставлена на катки в виде конических зубчатых колес K, оси которых закреплены в кольцевой раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются в геометрическом центре плоской опорной шестерни, по которой перекатываются опорные зубчатые колеса K. Найти угловую скорость и угловое ускорение конического катка, скорости и ускорения точек A, B, C (A — центр конического зубчатого колеса BAC), если радиус основания катка r=0,25 м, угол при вершине 2α, причем cos α=84/85. Угловая скорость вращения кольцевой рамы вокруг вертикальной оси ω0=const=0,1 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.44 Тело движется в пространстве, причем вектор угловой скорости тела равен ω и направлен в данный момент по оси z. Скорость точки O тела равна v0 и образует с осями y, z одинаковые углы, равные 45°. Найти точку твердого тела, скорость которой будет наименьшей, и определить величину этой скорости.
РЕШЕНИЕ
24.45 Тело A вращается с угловой скоростью ω1 вокруг оси y и движется поступательно со скоростью v1 вдоль той же оси. Тело B движется поступательно со скоростью v2, образующей угол α с осью y. При каком соотношении v1/v2 движение тела A по отношению к телу B будет чистым вращением? Где при этом будет лежать ось вращения?
РЕШЕНИЕ
24.46 Твердое тело, имеющее форму куба со стороной a=2 м участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми скоростями ω1=ω4=6 рад/с, ω2=ω3=4 рад/с. Определить результирующее движение тела.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
24.2 Найти относительную и абсолютную угловые скорости зубчатого колеса II радиуса r, катящегося по неподвижному зубчатому колесу I с тем же радиусом и приводящегося в движение кривошипом III, вращающимся вокруг оси неподвижного колеса O с угловой скоростью ω0; движение кривошипа OA принять за переносное.
РЕШЕНИЕ
24.3 Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом: стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси O1 с угловой скоростью ω4; на конце стержня O2 находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса r2. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса r3. При этом, благодаря трению, колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса r1, свободно насаженное на ось O1 и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу r3 наружной неподвижной обоймы найти такое значение r1, чтобы было ω1/ω4=12, т.е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.
РЕШЕНИЕ
24.4 Найти число оборотов в минуту шестерни с числом зубцов z3=25, если кривошип OA вращается вокруг оси O неподвижной шестерни (с числом зубцов z0=60) с угловой скоростью, соответствующей n0=30 об/мин, и несет на себе ось двойной шестерни с числами зубцов z1=40, z2=50.
РЕШЕНИЕ
24.5 В эпициклическом механизме, применяемом в конных приводах молотилок, водило OA и колесо I радиуса r1 насажены на вал O свободно; ось O1 колеса II укреплена на водиле, а колесо III радиуса r3 может свободно вращаться вокруг оси O. Определить угловую скорость ω1 колеса I, если водилу OA сообщена угловая скорость ω0, а колесу III от другого двигателя (тоже конного) сообщена угловая скорость ω3 противоположного направления.
РЕШЕНИЕ
24.6 Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес. Первое колесо (число зубцов z1=20) насажено на ведущий вал I, делающий n1=4500 об/мин, второе (z2=25) свободно насажено на ось, жестко связанную с ведомым валом II, третье колесо (z3=70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти число оборотов в минуту ведомого вала и бегающего колеса.
РЕШЕНИЕ
24.7 Ведущий вал I редуктора делает n1=1200 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала II, если неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет z1=180 зубцов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют z2=60 и z3=40 зубцов; шестеренка, закрепленная на ведомом валу, имеет z4=80 зубцов.
РЕШЕНИЕ
24.8 Редуктор скоростей состоит из неподвижной шестеренки радиуса r1=40 см, двух бегающих шестеренок радиусов r2=20 см и r3=30 см, спаренных между собой, и шестеренки с внутренним зацеплением радиуса r4=90 см, сидящей на ведомом валу. Ведущий вал и кривошип, несущий оси бегающих шестеренок, делают n1=1800 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала
РЕШЕНИЕ
24.9 Редуктор скоростей с планетарной передачей состоит из неподвижного солнечного колеса 1, жестко связанного с валом I, рамки, свободно вращающейся вокруг осей I и II с угловой скоростью Ω, двух шестеренок 2 и 3, жестко связанных между собой и свободно насаженных на ось EF, вращающуюся вместе с рамкой, и ведомой шестерни 4, жестко связанной с валом II. Определить отношение угловой скорости вала II к угловой скорости рамки, если шестеренки имеют следующее число зубцов: z1=49, z2=50, z3=51, z4=50.
РЕШЕНИЕ
24.10 Найти угловую скорость ωII ведомого вала редуктора с дифференциальной передачей, если ведущий вал с кривошипом, несущим на себе передаточные шестеренки, спаренные между собой, вращается с угловой скоростью ωI=120 рад/с. Колесо I вращается с угловой скоростью ω1=180 рад/с и имеет число зубцов z1=80; бегающие колеса имеют числа зубцов: z2=20, z3=40, а колесо, сидящее на ведомом валу, имеет z4=60 зубцов. Колесо I и ведущий вал вращаются в одном направлении.
РЕШЕНИЕ
24.11 Редуктор скоростей с дифференциальной передачей состоит из четырех зубчатых колес, из которых первое — с внутренним зацеплением — делает 160 об/мин и имеет z1=70 зубцов; второе и третье спарены между собой и сидят на оси, вращающейся вокруг оси ведущего вала I вместе с последним, делая n1=1200 об/мин; числа зубцов: z2=20, z3=30; четвертое — с внутренним зацеплением — имеет z4=80 зубцов и заклинено на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если вал I и колесо 1 вращаются в противоположных направлениях.
РЕШЕНИЕ
24.12 Редуктор скоростей имеет неподвижную шестеренку 1, спаренные между собой подвижные шестеренки 2 и 3 с внутренним зацеплением и шестерню 4, заклиненную на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов равны z1=3, z2=80, z3=70, z4=20; ведущий вал вращается с угловой скоростью, соответствующей nI=1200 об/мин.
РЕШЕНИЕ
24.13 В блоке системы Триплекс на валу a — a жестко насажен цепной блок A; на тот же вал свободно насажена втулка b с подъемной цепью и грузом, наглухо соединенная с рукояткой B. На каждый палец рукоятки свободно насажены две шестерни II и III, спаренные между собой, шестерни II сцеплены с шестерней I, заклиненной на валу a — a, шестеренки III сцеплены с неподвижным зубчатым колесом IV. Определить отношение угловых скоростей вращения вала a — a и втулки b, если числа зубцов колес I, II, III и IV соответственно равны: z1=12, z2=28, z3=14, z4=54.
РЕШЕНИЕ
24.14 В цилиндрическом дифференциале зубчатое колесо радиуса R свободно насажено на вал I — I и несет на себе шестерни радиусов r2 и r3, спаренные друг с другом. Колесо R приводится в движение шестеренкой радиуса r0. Шестеренки радиусов r2 и r3 зацепляются с шестеренками радиусов r1 и r4, заклиненными соответственно на валах I — I и II, из которых последний выполнен в виде втулки. Найти угловую скорость вала II, если известны угловые скорости вращения n1 и n0 валов I — I и O — O, причем эти валы вращаются по одну сторону.
РЕШЕНИЕ
24.15 В планетарном приводе картофелекопателя центральная шестеренка a, совершающая поступательное прямолинейное равномерное движение вместе со своей осью, соединена при помощи паразитных шестеренок b с подвижными шестеренками c, к втулкам которых прикреплены крылья d; оси шестеренок b и c насажены на водило S, вращающееся вокруг оси центральной шестеренки a с угловой скоростью ω0. Определить абсолютную угловую скорость шестеренок, а также характер движения крыльев, если радиусы всех шестеренок одинаковы.
РЕШЕНИЕ
24.16 Кривошип OA с противовесом B вращается с угловой скоростью ω0=const вокруг оси O неподвижной шестеренки и несет на конце A ось другой шестеренки того же размера, соединенной с цепью. Определить угловую скорость и угловое ускорение подвижной шестеренки, а также скорость и ускорение произвольной ее точки M, если длина кривошипа OA=l.
РЕШЕНИЕ
24.17 В эпициклической передаче ведущая шестерня радиуса R вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω0 и угловым ускорением ε0, кривошип длины 3R вращается вокруг ее оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью и тем же угловым ускорением. Наити скорость и ускорение точки M ведомой шестерни радиуса R, лежащей на конце диаметра, перпендикулярного в данный момент кривошипу.
РЕШЕНИЕ
24.18 Даны два конических зубчатых колеса, оси которых неподвижны, а соответственные углы равны α и β. Первое колесо вращается с угловой скоростью ω1. Определить угловую скорость ω2 второго колеса и вычислить ее в том случае, когда α=30°, β=60°, ω1=10 об/мин.
РЕШЕНИЕ
24.19 Карусель представляет собой круглую площадку AB, которая вращается вокруг оси OC, проходящей через ее центр D, делая 6 об/мин, а ось OC вращается в том же направлении вокруг вертикали OE и делает 10 об/мин. Угол между осями α=20°, диаметр площадки AB равен 10 м, расстояние OD равно 2 м. Определить скорость v точки B в тот момент, когда она занимает самое низкое положение.
РЕШЕНИЕ
24.20 Шаровая дробилка состоит из полого шара II (в котором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению), сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое колесо E радиуса r. Ось CD сидит в подшипниках в раме I, составляющей одно целое с осью AB и приводящейся во вращение при помощи рукоятки G. Колесо E сцепляется с неподвижным колесом F радиуса R. Определить абсолютную угловую скорость шаровой дробилки, если рукоятка вращается с угловой скоростью ω0; угол между осями AB и CD равен α. Определить также абсолютное угловое ускорение шаровой дробилки, если угловая скорость рукоятки ω0=const.
РЕШЕНИЕ
24.21 Для растирания руды применяются бегуны в виде чугунных колес со стальными ободьями, катящимися по дну конической чаши. Бегуны вращаются вокруг горизонтальной оси AOB, которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси OO1, составляющей с осью AOB одно целое. Найти абсолютные скорости точек D и E обода бегуна, принимая, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину C линии касания обода бегуна с дном чаши. Скорость вращения вокруг вертикальной оси ωe=1 рад/с, ширина бегуна h=0,5 м. Средний радиус бегуна R=1 м, средний радиус вращения r=0,6 м, tg α=0,2.
РЕШЕНИЕ
24.22 Дифференциальная передача состоит из двух дисков AB и DE, центры которых находятся на их общей оси вращения; эти диски сжимают колесо MN, ось которого HI перпендикулярна оси дисков. Определить для колеса MN скорость v центра H и угловую скорость ωr вращения вокруг оси HI, если скорости точек касания колеса с дисками равны: v1=3 м/с, v2=4 м/с, радиус колеса r=0,05 м.
РЕШЕНИЕ
24.23 Сохранив условия предыдущей задачи и зная длину HI=1/14 м, определить абсолютную угловую скорость и абсолютное угловое ускорение колеса MN.
РЕШЕНИЕ
24.24 Волчок A вращается относительно своей оси симметрии OB с постоянной угловой скоростью ω1 рад/с. Ось OB описывает равномерно конус. За одну минуту вершина волчка B делает n оборотов; ∠BOS=α. Найти угловую скорость ω и угловое ускорение ε волчка.
РЕШЕНИЕ
24.25 Круглый диск вращается с угловой скоростью ω1 вокруг горизонтальной оси CD; одновременно ось CD вращается вокруг вертикальной оси AB, проходящей через центр O диска, с угловой скоростью ω2. Вычислить величину и направление мгновенной угловой скорости ω и мгновенного углового ускорения ε диска, если ω1=5 рад/с, ω2=3 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.26 Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ωr вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ωe вокруг вертикальной оси. Найти скорости и ускорения точек A и B, лежащих на концах вертикального диаметра диска.
РЕШЕНИЕ
24.27 Квадратная рама вращается вокруг оси AB, делая 2 об/мин. Вокруг оси BC, совпадающей с диагональю рамы, вращается диск, делая 2 об/мин. Определить абсолютную угловую скорость и угловое ускорение диска.
РЕШЕНИЕ
24.28 Ось мельничного бегуна OA вращается равномерно вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью Ω. Длина оси OA=R, радиус бегуна AC=r. Считая, что в данный момент точка C бегуна имеет скорость, равную нулю, определить угловую скорость бегуна ω, направление мгновенной оси, подвижный и неподвижный аксоиды.
РЕШЕНИЕ
24.29 Дифференциальная передача состоит из конического зубчатого колеса III (сателлита), насаженного свободно на кривошип IV, который может вращаться вокруг неподвижной оси CD. Сателлит соединен с коническими зубчатыми колесами I и II, вращающимися вокруг той же оси CD с угловыми скоростями ω1=5 рад/с и ω2=3 рад/с, причем вращения происходят в одну сторону. Радиус сателлита r=2 см, а радиусы колес I и II одинаковы и равны R=7 см. Определить угловую скорость ω4 кривошипа IV, угловую скорость ω34 сателлита по отношению к кривошипу и скорость точки A.
РЕШЕНИЕ
24.30 В дифференциальном механизме, рассмотренном в предыдущей задаче, конические зубчатые колеса I и II вращаются в разные стороны с угловыми скоростями ω1=7 рад/с, ω2=3 рад/с. Определить vA, ω4 и ω34, если R=5 см, r=2,5 см.
РЕШЕНИЕ
24.31 При движении автомобиля по закругленному пути внешние колеса автомобиля, проходя больший путь, должны вращаться быстрее внутренних колес, проходящих меньший путь. Во избежание поломки задней ведущей оси автомобиля применяется зубчатая передача, называемая дифференциальной и имеющая следующее устройство. Задняя ось, несущая два колеса, делается из двух отдельных частей I и II, на концах которых наглухо насажены два одинаковых зубчатых колеса A и B. На этих частях вала в подшипниках вращается коробка C с коническим колесом D, наглухо с ней соединенным. Коробка получает вращение от главного (продольного) вала, приводимого в движение мотором, через посредство зубчатки E. Вращение коробки C передается зубчатым колесам A и B при помощи двух конических шестеренок F (сателлитов), свободно вращающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендикулярно к задней оси I—II автомобиля. Найти угловые скорости задних колес автомобиля в зависимости от угловой скорости вращения коробки C и угловую скорость ωr сателлитов по отношению к коробке, если автомобиль движется со скоростью v=36 км/ч по закруглению среднего радиуса ρ=5 м; радиусы колес задней оси R=0,5 м; расстояние между ними l=2 м. Радиусы зубчатых колес A и B вдвое больше радиусов сателлитов: R0=2r.
РЕШЕНИЕ
24.32 При применении дифференциального зацепления для получения назначенного отношения чисел оборотов осей AB и MN к коническим колесам I и II дифференциального зацепления присоединяют наглухо цилиндрические зубчатые колеса I и II , которые сцепляются с шестеренками IV и V, насаженными наглухо на ось AB. Найти соотношение между угловыми скоростями ω0 и ω валов AB и MN, если радиусы колес I и II одинаковы, числа зубцов колес I , II , IV и V соответственно равны m, n, x, y.
РЕШЕНИЕ
24.33 В дифференциальной передаче, рассмотренной в предыдущей задаче, между зубчатыми колесами I и IV введено паразитное колесо с неподвижной осью вращения. Требуется найти соотношение между угловыми скоростями ω0 и ω валов AB и MN, сохраняя все остальные условия задачи.
РЕШЕНИЕ
24.34 Дифференциальная передача, соединяющая обе половины задней оси автомобиля, состоит из двух шестеренок с одинаковыми радиусами R=6 см, насаженных на полуоси, вращающиеся при движении автомобиля на повороте с разными, но постоянными по величине угловыми скоростями ω1=6 рад/с и ω2=4 рад/с одинакового направления. Между шестеренками зажат бегущий сателлит радиуса r=3 см, свободно насаженный на ось. Ось сателлита жестко заделана в кожухе и может вращаться вместе с ним вокруг задней оси автомобиля. Найти относительно корпуса автомобиля ускорения четырех точек M1, M2, M3 и M4 сателлита, лежащих на концах двух диаметров, как показано на рисунке.
РЕШЕНИЕ
24.35 В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 сидит на ведущем валу a свободно, вместе со скрепленным с ним жестко колесом 1. На конце ведущего вала a сидит головка, несущая ось CC сателлитов 2—2. Определить угловую скорость ведомого вала b с наглухо заклиненным колесом 3 в пяти случаях: 1) Угловая скорость ведущего вала ωa, угловая скорость ускорительного колеса ω4=0. 2) Угловая скорость ведущего вала ωa, ускорительное колесо вращается в ту же сторону, что и ведущий вал, с угловой скоростью ω4. 3) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону с равными угловыми скоростями ω4=ωa. 4) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону, причем ω4=2ωa. 5) Угловая скорость ведущего вала ωa, ускорительное колесо вращается в противоположную сторону с угловой скоростью ω4.
РЕШЕНИЕ
24.36 В дифференциале зуборезного станка, описанном в предыдущей задаче, угловая скорость ведущего вала ωa=60 об/мин. Определить, какова должна быть угловая скорость ускорительного колеса, чтобы ведомый вал был неподвижен.
РЕШЕНИЕ
24.37 В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 несет на себе ось сателлитов. Угловая скорость ведущего вала ωa. Определить угловую скорость ведомого вала в следующих трех случаях: 1) Ускорительное колесо 4 вращается в сторону ведущего вала с угловой скоростью ω4=ωa. 2) То же, но вращения ведущего вала и ускорительного колеса противоположны по направлению. 3) Ускорительное колесо и ось сателлитов неподвижны.
РЕШЕНИЕ
24.38 В станочном дифференциале коническое колесо 1 заклинено на ведущем валу a, на конце ведомого вала b сидит головка, несущая ось CC сателлитов 2—2. На том же валу свободно сидит коническое колесо 3, составляющее одно целое с червячным колесом 4. Определить передаточное число при неподвижном червяке 5, а следовательно, и колесах 4 и 3, если все конические колеса одного радиуса.
РЕШЕНИЕ
24.39 Двойной дифференциал состоит из кривошипа III, который может вращаться вокруг неподвижной оси ab. На кривошип свободно насажен сателлит IV, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусов r1=5 см и r2=2 см. Колеса эти соединены с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиусов R1=10 см и R2=5 см, вращающимися вокруг оси ab, но с кривошипом не связанными. Угловые скорости колес I и II соответственно равны: ω1=4,5 рад/с и ω2=9 рад/с. Определить угловую скорость кривошипа ω3 и угловую скорость сателлита по отношению к кривошипу ω43, если оба колеса вращаются в одну и ту же сторону.
РЕШЕНИЕ
24.40 Решить предыдущую задачу, предполагая, что зубчатые колеса I и II вращаются в противоположные стороны.
РЕШЕНИЕ
24.41 Крестовина ABCD универсального шарнира Кардана — Гука (AB⊥CD), употребляемого при передаче вращения между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной точки E. Найти отношение ω1/ω2 для валов, связанных крестовиной, в двух случаях: 1) когда плоскость вилки ABF горизонтальна, а плоскость вилки CDG вертикальна; 2) когда плоскость вилки ABF вертикальна, а плоскость вилки CDG ей перпендикулярна. Угол между осями валов постоянный: α=60°.
РЕШЕНИЕ
24.42 Шаровая дробилка состоит из полого шара диаметра d=10 см, сидящего на оси AB, на которой заклинено колесо с числом зубцов z4=28. Ось AB закреплена во вращающейся раме I в подшипниках a и b. Рама I составляет одно целое с осью CD, приводящейся во вращение при помощи рукоятки III. Вращение шаровой дробилки вокруг оси AB осуществляется при помощи зубчатых колес с числами зубцов z1=80, z2=43, z3=28, причем первое из них неподвижно. Определить абсолютную угловую скорость, угловое ускорение дробилки и скорости и ускорения двух точек E и F, лежащих в рассматриваемый момент времени на оси CD, если рукоятку вращают с постоянной угловой скоростью ω=4,3 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.43 Поворотная часть моста поставлена на катки в виде конических зубчатых колес K, оси которых закреплены в кольцевой раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются в геометрическом центре плоской опорной шестерни, по которой перекатываются опорные зубчатые колеса K. Найти угловую скорость и угловое ускорение конического катка, скорости и ускорения точек A, B, C (A — центр конического зубчатого колеса BAC), если радиус основания катка r=0,25 м, угол при вершине 2α, причем cos α=84/85. Угловая скорость вращения кольцевой рамы вокруг вертикальной оси ω0=const=0,1 рад/с.
РЕШЕНИЕ
24.44 Тело движется в пространстве, причем вектор угловой скорости тела равен ω и направлен в данный момент по оси z. Скорость точки O тела равна v0 и образует с осями y, z одинаковые углы, равные 45°. Найти точку твердого тела, скорость которой будет наименьшей, и определить величину этой скорости.
РЕШЕНИЕ
24.45 Тело A вращается с угловой скоростью ω1 вокруг оси y и движется поступательно со скоростью v1 вдоль той же оси. Тело B движется поступательно со скоростью v2, образующей угол α с осью y. При каком соотношении v1/v2 движение тела A по отношению к телу B будет чистым вращением? Где при этом будет лежать ось вращения?
РЕШЕНИЕ
24.46 Твердое тело, имеющее форму куба со стороной a=2 м участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми скоростями ω1=ω4=6 рад/с, ω2=ω3=4 рад/с. Определить результирующее движение тела.
РЕШЕНИЕ