Физика твердого тела
§ 50. Тепловые свойства
Условия задач и ссылки на решения:
Определить количество теплоты ΔQ, необходимое для нагревания кристалла NaCl массой m=20 г на ΔТ=2 К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=θD; 2) T2=2 К. Характеристическую температуру Дебая θD для NaCl принять равной 320 К.
РЕШЕНИЕ
50.1 Вычислить удельные теплоемкости c кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости.
РЕШЕНИЕ
50.2 Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCl и СаCl2.
РЕШЕНИЕ
50.3 Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С кристалла бромида алюминия AlВr3 объемом V= 1 м3. Плотность ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 *10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
50.4 Определить изменение ΔU внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от T=0 °С до T2=200 °С. Масса m кристалла равна 20 г. Теплоемкость С вычислить.
РЕШЕНИЕ
50.5 Вывести формулу для средней энергии (e) классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение (е) при T=300 К.
РЕШЕНИЕ
50.6 Определить энергию U и теплоемкость C системы, состоящей из N=1025 классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура T=300 K.
РЕШЕНИЕ
50.7 Определить: 1) среднюю энергию е линейного одномерного квантового осциллятора при температуре Т=θЕ (θE=200 К); 2) энергию U системы, состоящей из N= 1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=θЕ (θE=300 К).
РЕШЕНИЕ
50.8 Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура θЕ серебра равна 165 К.
РЕШЕНИЕ
50.9 Во сколько раз изменится средняя энергия (е) квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т1=θЕ/2 до Т2=θЕ? Учесть нулевую энергию.
РЕШЕНИЕ
50.10 Определить отношение (е)/(еТ) средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=θЕ.
РЕШЕНИЕ
50.11 Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ=2К от температуры T=θЕ/2.
РЕШЕНИЕ
50.12 Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T1=0,1 θE. Характеристическую температуру θE Эйнштейна принять для данного кристалла равной 300 К.
РЕШЕНИЕ
50.13 Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости C вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при T=θE), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
РЕШЕНИЕ
50.14 Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um 0 кристалла цинка. Характеристическая температура θE для цинка равна 230 К. Теория теплоемкости Дебая
РЕШЕНИЕ
50.15 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.16 Зная функцию распределения частот g (ω) =9N/ω3 max ω2 для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.17 Используя формулу энергии трехмерного кристалла получить выражение для молярной теплоемкости.
РЕШЕНИЕ
50.18 Молярная теплоемкость трехмерного кристалла Cm. Найти предельное выражение молярной теплоемкости при низких температурах (Δ<<θD).
РЕШЕНИЕ
50.19 Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um0 кристалла меди. Характеристическая температура θD меди равна 320 К.
РЕШЕНИЕ
50.20 Определить максимальную частоту ω max собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура θD равна 180 К.
РЕШЕНИЕ
50.21 Вычислить максимальную частоту ω mаx Дебая, если известно, что молярная теплоемкость Сm серебра при Т=20 К равна 1,7 Дж/(моль*К).
РЕШЕНИЕ
50.22 Найти отношение изменения ΔU внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T=0,1θD к нулевой энергии U0. Считать Т<θD.
РЕШЕНИЕ
50.23 Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т=0,1 θD. Характеристическую температуру θD Дебая принять для данного кристалла равной 300 К. Считать T<θD.
РЕШЕНИЕ
50.24 Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ=2К от температуры T=θD/2.
РЕШЕНИЕ
50.25 При нагревании серебра массой m=10 г от T1=10 К до Т2=20 К было подведено ΔQ=0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру θD Дебая серебра. Считать T<gθD.
РЕШЕНИЕ
50.26 Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при T=θD), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
РЕШЕНИЕ
50.27 Найти отношение θЕ/θD характеристических температур Эйнштейна и Дебая
РЕШЕНИЕ
50.28 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с двухмерной решеткой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.29 Зная функцию распределения частот g(ω) =ω 6N/ω3 max для кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергии U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.30 Получить выражение для молярной теплоемкости Ст, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой
РЕШЕНИЕ
50.31 Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах T<<θD
РЕШЕНИЕ
50.32 Вычислить молярную внутреннюю энергию Um кристаллов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура θD Дебая равна 350 К.
РЕШЕНИЕ
50.33 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цени, не взаимодействукмцие друг с другом). При выводе примять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.34 Зная функцию распределения частот g(ω)=3N/ωmax для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.35 Получить выражение для молярной теплоемкости, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с одномерной решеткой
РЕШЕНИЕ
50.36 Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой Cm. Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (T<<θD).
РЕШЕНИЕ
50.37 Вычислить молярную нулевую энергию Umax кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура θD Дебая равна 300 К.
РЕШЕНИЕ
50.38 Вода при температуре t1=0 °С покрыта слоем льда толщиной h=50 см. Температура t1 воздуха равна 30 °С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время т=1 ч через поверхность льда площадью S=1 м2. Теплопроводность λ льда равна 2,2 Вт/(м*К).
РЕШЕНИЕ
50.39 Какая мощность N требуется для того, чтобы поддерживать температуру t1=100 °С в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м2, толщина h изолирующего слоя равна 2 см и внешняя температура t=20 °С?
РЕШЕНИЕ
50.40 Найти энергию е фонона, соответствующего максимальной частоте U max Дебая, если характеристическая температура θD Дебая равна 250 К.
РЕШЕНИЕ
50.41 Определить квазиимпульс р фонола, соответствующего частоте ω=0,1 ω max. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура θD Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.
РЕШЕНИЕ
50.42 Длина волны λ фонона, соответствующего частоте ω = =0,01 ωmах, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру θD Дебая, если усредненная скорость v звука в кристалле равна 4,8 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.43 Вычислить усредненную скорость v фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной E и поперечной G упругости, а также плотность р серебра считать известными.
РЕШЕНИЕ
50.44 Характеристическая температура θD Дебая для вольфрама равна 310 К. Определить длину волны λ фотонов, соответствующих частоте v=0,1 v max. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.
РЕШЕНИЕ
50.45 Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3 нм. Определить максимальную энергию е max фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 5 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.46 Определить усредненную скорость v звука в кристалле, характеристическая температура θ которого равна 300 К. Межатомное расстояние d в кристалле равно 0,25 нм.
РЕШЕНИЕ
50.47 Вычислить среднюю длину l свободного пробега фононов в кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность λ=13 Вт/(м*К), молярная теплоемкость С=44 Дж/(моль*К) и усредненная скорость v звука равна 5 км/с. Плотность ρ кварца равна 2,65*10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
50.48 Найти отношение средней длины l свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле NaCl, если теплопроводность λ при той же температуре равна 71 Вт/(м*К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана - Коппа. Относительные атомные массы: АNa=23, Acl=35,5; плотность р кристалла равна 2,17 *10^3 кг/м3. Усредненную скорость v звука принять равной 5 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.49 Вычислить фононное давление p в свинце при температуре T=42,5 К. Характеристическая температура θD Дебая свинца равна 85 К.
РЕШЕНИЕ
50.50 Определить фононное давление р в меди при температуре T=θD, если 8d=320 К.
РЕШЕНИЕ
50.51 Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского смещения Δω/ω для нерелятивистского случая.
РЕШЕНИЕ
50.52 Вычислить энергию R, которую приобретает атом вследствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (λ=500 нм); 2) при рентгеновском излучении (λ=0,5 нм); 3) при гамма-излучении (λ=5*10-3 нм). Массу ma атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 a. е. м.
РЕШЕНИЕ
50.53 Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (Δλ/λ) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость (v) теплового движения атома принять равной 3 км/с, время т жизни атома в возбужденном состоянии — 10 не, энергию е излучения атома — 10 эВ.
РЕШЕНИЕ
50.54 При испускании γ-фотона свободным ядром происходит смещение и уширение спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение — явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe относительные изменения (Δv/v) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчетах принять среднюю скорость (v) ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300 м/с, время т жизни ядра в возбужденном состоянии — 100 не и энергию eγ гамма-излучения равной 15 кэВ.
РЕШЕНИЕ
50.55 Найти энергию ΔЕ возбуждения свободного покоившегося ядра массы ma, которую оно приобретает в результате захвата гамма-фотона с энергией е.
РЕШЕНИЕ
50.56 Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией ev=30 кэВ. Определить относительное смещение Δλ/λ спектральной линии, обусловленное отдачей ядра.
РЕШЕНИЕ
50.57 Ядро 67Zn с энергией возбуждения ΔE=93 кэВ перешло в основное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изменение Δeγ/eγ энергии гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра.
РЕШЕНИЕ
50.58 Энергия связи Eсв атома, находящегося в узле кристаллической решетки, составляет 20 эВ. Масса m атома равна 80 a. е. м. Определить минимальную энергию еγ гамма-фотона, при испускании которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки.
РЕШЕНИЕ
50.59 Энергия возбуждения ΔE ядра 191Ir равна 129 кэВ. При какой скорости v сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 191Ir) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер?
РЕШЕНИЕ
50.60 Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Kr. Энергия возбуждения ΔE ядер равна 9,3 кэВ. Определить скорость v сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гамма-фотона.
РЕШЕНИЕ
50.61 Источник и поглотитель содержат ядра 161Dy. Энергия возбуждения ΔE ядер равна 26 кэВ, период полураспада Т1/2=28 нс. При какой минимальной скорости vmin сближения источника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона?
РЕШЕНИЕ
50.62 При скорости v сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 153Er), равной 10 мм/с, нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона с энергией eγ=98 кэВ. Оценить по этим данным среднее время т жизни возбужденных ядер 153Er.
РЕШЕНИЕ
50.63 Источник гамма-фотонов расположен над детектором-поглотителем на расстоянии l=20 м. С какой скоростью v необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
РЕШЕНИЕ
50.64 Найти коэффициент объемного расширения р для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширения которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют α1= 1,25*10-5 К-1; α2=1,10*10-5 К-1; α3= 1,5*10-5 К-1.
РЕШЕНИЕ
50.65 Вычислить максимальную силу Fmах, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности β=50 Н/м, а коэффициент ангармоничности γ=500 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.66 Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности β=50 Н/м, коэффициент ангармоничности 7=500 ГПа, среднее межатомное расстояние r0=0,4 нм.
РЕШЕНИЕ
50.67 Каково максимальное изменение ΔПmaх потенциальной энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние r0 между атомами принять равным 0,3 нм, модуль Юнга Е=100 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.68 Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(x)=-βx, то тепловое расширение отсутствует.
РЕШЕНИЕ
50.69 Определить коэффициент гармоничности β в уравнении колебаний частиц твердого тела, если равновесное расстояние r0 между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга E=200 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.70 Оценить термический коэффициент расширения α твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности γ~β/(2r0). При оценке принять: модуль Юнга E=100 ГПа, межатомное расстояние r0=0,3 нм.
РЕШЕНИЕ
50.71 Вычислить коэффициент ангармоничности γ для железа, если температурный коэффициент линейного расширения α=1,2*10-5 К-1, межатомное расстояние r0=0,25 нм, модуль Юнга Е=200 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.72 Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до T=400 К) по сравнению с равновесным расстоянием r0=0,3 нм, отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчетах принять γ=β/(2r0), модуль Юнга E=10 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.73 Оценить термический коэффициент расширения α твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области T<<θD). При оценке принять: плотность ρ кристалла равной 10^4 кг/м3, модуль Юнга E=100 ГПа, относительную атомную массу Ar=60
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
50.1 Вычислить удельные теплоемкости c кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости.
РЕШЕНИЕ
50.2 Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCl и СаCl2.
РЕШЕНИЕ
50.3 Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С кристалла бромида алюминия AlВr3 объемом V= 1 м3. Плотность ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 *10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
50.4 Определить изменение ΔU внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от T=0 °С до T2=200 °С. Масса m кристалла равна 20 г. Теплоемкость С вычислить.
РЕШЕНИЕ
50.5 Вывести формулу для средней энергии (e) классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение (е) при T=300 К.
РЕШЕНИЕ
50.6 Определить энергию U и теплоемкость C системы, состоящей из N=1025 классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура T=300 K.
РЕШЕНИЕ
50.7 Определить: 1) среднюю энергию е линейного одномерного квантового осциллятора при температуре Т=θЕ (θE=200 К); 2) энергию U системы, состоящей из N= 1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=θЕ (θE=300 К).
РЕШЕНИЕ
50.8 Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура θЕ серебра равна 165 К.
РЕШЕНИЕ
50.9 Во сколько раз изменится средняя энергия (е) квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т1=θЕ/2 до Т2=θЕ? Учесть нулевую энергию.
РЕШЕНИЕ
50.10 Определить отношение (е)/(еТ) средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=θЕ.
РЕШЕНИЕ
50.11 Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ=2К от температуры T=θЕ/2.
РЕШЕНИЕ
50.12 Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T1=0,1 θE. Характеристическую температуру θE Эйнштейна принять для данного кристалла равной 300 К.
РЕШЕНИЕ
50.13 Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости C вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при T=θE), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
РЕШЕНИЕ
50.14 Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um 0 кристалла цинка. Характеристическая температура θE для цинка равна 230 К. Теория теплоемкости Дебая
РЕШЕНИЕ
50.15 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.16 Зная функцию распределения частот g (ω) =9N/ω3 max ω2 для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.17 Используя формулу энергии трехмерного кристалла получить выражение для молярной теплоемкости.
РЕШЕНИЕ
50.18 Молярная теплоемкость трехмерного кристалла Cm. Найти предельное выражение молярной теплоемкости при низких температурах (Δ<<θD).
РЕШЕНИЕ
50.19 Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um0 кристалла меди. Характеристическая температура θD меди равна 320 К.
РЕШЕНИЕ
50.20 Определить максимальную частоту ω max собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура θD равна 180 К.
РЕШЕНИЕ
50.21 Вычислить максимальную частоту ω mаx Дебая, если известно, что молярная теплоемкость Сm серебра при Т=20 К равна 1,7 Дж/(моль*К).
РЕШЕНИЕ
50.22 Найти отношение изменения ΔU внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T=0,1θD к нулевой энергии U0. Считать Т<θD.
РЕШЕНИЕ
50.23 Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т=0,1 θD. Характеристическую температуру θD Дебая принять для данного кристалла равной 300 К. Считать T<θD.
РЕШЕНИЕ
50.24 Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение ΔUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ=2К от температуры T=θD/2.
РЕШЕНИЕ
50.25 При нагревании серебра массой m=10 г от T1=10 К до Т2=20 К было подведено ΔQ=0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру θD Дебая серебра. Считать T<gθD.
РЕШЕНИЕ
50.26 Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при T=θD), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
РЕШЕНИЕ
50.27 Найти отношение θЕ/θD характеристических температур Эйнштейна и Дебая
РЕШЕНИЕ
50.28 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с двухмерной решеткой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.29 Зная функцию распределения частот g(ω) =ω 6N/ω3 max для кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергии U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.30 Получить выражение для молярной теплоемкости Ст, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой
РЕШЕНИЕ
50.31 Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах T<<θD
РЕШЕНИЕ
50.32 Вычислить молярную внутреннюю энергию Um кристаллов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура θD Дебая равна 350 К.
РЕШЕНИЕ
50.33 Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(ω) для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цени, не взаимодействукмцие друг с другом). При выводе примять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме).
РЕШЕНИЕ
50.34 Зная функцию распределения частот g(ω)=3N/ωmax для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
РЕШЕНИЕ
50.35 Получить выражение для молярной теплоемкости, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с одномерной решеткой
РЕШЕНИЕ
50.36 Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой Cm. Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (T<<θD).
РЕШЕНИЕ
50.37 Вычислить молярную нулевую энергию Umax кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура θD Дебая равна 300 К.
РЕШЕНИЕ
50.38 Вода при температуре t1=0 °С покрыта слоем льда толщиной h=50 см. Температура t1 воздуха равна 30 °С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время т=1 ч через поверхность льда площадью S=1 м2. Теплопроводность λ льда равна 2,2 Вт/(м*К).
РЕШЕНИЕ
50.39 Какая мощность N требуется для того, чтобы поддерживать температуру t1=100 °С в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м2, толщина h изолирующего слоя равна 2 см и внешняя температура t=20 °С?
РЕШЕНИЕ
50.40 Найти энергию е фонона, соответствующего максимальной частоте U max Дебая, если характеристическая температура θD Дебая равна 250 К.
РЕШЕНИЕ
50.41 Определить квазиимпульс р фонола, соответствующего частоте ω=0,1 ω max. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура θD Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.
РЕШЕНИЕ
50.42 Длина волны λ фонона, соответствующего частоте ω = =0,01 ωmах, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру θD Дебая, если усредненная скорость v звука в кристалле равна 4,8 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.43 Вычислить усредненную скорость v фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной E и поперечной G упругости, а также плотность р серебра считать известными.
РЕШЕНИЕ
50.44 Характеристическая температура θD Дебая для вольфрама равна 310 К. Определить длину волны λ фотонов, соответствующих частоте v=0,1 v max. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.
РЕШЕНИЕ
50.45 Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3 нм. Определить максимальную энергию е max фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 5 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.46 Определить усредненную скорость v звука в кристалле, характеристическая температура θ которого равна 300 К. Межатомное расстояние d в кристалле равно 0,25 нм.
РЕШЕНИЕ
50.47 Вычислить среднюю длину l свободного пробега фононов в кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность λ=13 Вт/(м*К), молярная теплоемкость С=44 Дж/(моль*К) и усредненная скорость v звука равна 5 км/с. Плотность ρ кварца равна 2,65*10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
50.48 Найти отношение средней длины l свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле NaCl, если теплопроводность λ при той же температуре равна 71 Вт/(м*К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана - Коппа. Относительные атомные массы: АNa=23, Acl=35,5; плотность р кристалла равна 2,17 *10^3 кг/м3. Усредненную скорость v звука принять равной 5 км/с.
РЕШЕНИЕ
50.49 Вычислить фононное давление p в свинце при температуре T=42,5 К. Характеристическая температура θD Дебая свинца равна 85 К.
РЕШЕНИЕ
50.50 Определить фононное давление р в меди при температуре T=θD, если 8d=320 К.
РЕШЕНИЕ
50.51 Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского смещения Δω/ω для нерелятивистского случая.
РЕШЕНИЕ
50.52 Вычислить энергию R, которую приобретает атом вследствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (λ=500 нм); 2) при рентгеновском излучении (λ=0,5 нм); 3) при гамма-излучении (λ=5*10-3 нм). Массу ma атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 a. е. м.
РЕШЕНИЕ
50.53 Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (Δλ/λ) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость (v) теплового движения атома принять равной 3 км/с, время т жизни атома в возбужденном состоянии — 10 не, энергию е излучения атома — 10 эВ.
РЕШЕНИЕ
50.54 При испускании γ-фотона свободным ядром происходит смещение и уширение спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение — явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe относительные изменения (Δv/v) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчетах принять среднюю скорость (v) ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300 м/с, время т жизни ядра в возбужденном состоянии — 100 не и энергию eγ гамма-излучения равной 15 кэВ.
РЕШЕНИЕ
50.55 Найти энергию ΔЕ возбуждения свободного покоившегося ядра массы ma, которую оно приобретает в результате захвата гамма-фотона с энергией е.
РЕШЕНИЕ
50.56 Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией ev=30 кэВ. Определить относительное смещение Δλ/λ спектральной линии, обусловленное отдачей ядра.
РЕШЕНИЕ
50.57 Ядро 67Zn с энергией возбуждения ΔE=93 кэВ перешло в основное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изменение Δeγ/eγ энергии гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра.
РЕШЕНИЕ
50.58 Энергия связи Eсв атома, находящегося в узле кристаллической решетки, составляет 20 эВ. Масса m атома равна 80 a. е. м. Определить минимальную энергию еγ гамма-фотона, при испускании которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки.
РЕШЕНИЕ
50.59 Энергия возбуждения ΔE ядра 191Ir равна 129 кэВ. При какой скорости v сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 191Ir) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер?
РЕШЕНИЕ
50.60 Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Kr. Энергия возбуждения ΔE ядер равна 9,3 кэВ. Определить скорость v сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гамма-фотона.
РЕШЕНИЕ
50.61 Источник и поглотитель содержат ядра 161Dy. Энергия возбуждения ΔE ядер равна 26 кэВ, период полураспада Т1/2=28 нс. При какой минимальной скорости vmin сближения источника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона?
РЕШЕНИЕ
50.62 При скорости v сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 153Er), равной 10 мм/с, нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона с энергией eγ=98 кэВ. Оценить по этим данным среднее время т жизни возбужденных ядер 153Er.
РЕШЕНИЕ
50.63 Источник гамма-фотонов расположен над детектором-поглотителем на расстоянии l=20 м. С какой скоростью v необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
РЕШЕНИЕ
50.64 Найти коэффициент объемного расширения р для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширения которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют α1= 1,25*10-5 К-1; α2=1,10*10-5 К-1; α3= 1,5*10-5 К-1.
РЕШЕНИЕ
50.65 Вычислить максимальную силу Fmах, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности β=50 Н/м, а коэффициент ангармоничности γ=500 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.66 Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности β=50 Н/м, коэффициент ангармоничности 7=500 ГПа, среднее межатомное расстояние r0=0,4 нм.
РЕШЕНИЕ
50.67 Каково максимальное изменение ΔПmaх потенциальной энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние r0 между атомами принять равным 0,3 нм, модуль Юнга Е=100 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.68 Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(x)=-βx, то тепловое расширение отсутствует.
РЕШЕНИЕ
50.69 Определить коэффициент гармоничности β в уравнении колебаний частиц твердого тела, если равновесное расстояние r0 между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга E=200 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.70 Оценить термический коэффициент расширения α твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности γ~β/(2r0). При оценке принять: модуль Юнга E=100 ГПа, межатомное расстояние r0=0,3 нм.
РЕШЕНИЕ
50.71 Вычислить коэффициент ангармоничности γ для железа, если температурный коэффициент линейного расширения α=1,2*10-5 К-1, межатомное расстояние r0=0,25 нм, модуль Юнга Е=200 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.72 Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до T=400 К) по сравнению с равновесным расстоянием r0=0,3 нм, отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчетах принять γ=β/(2r0), модуль Юнга E=10 ГПа.
РЕШЕНИЕ
50.73 Оценить термический коэффициент расширения α твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области T<<θD). При оценке принять: плотность ρ кристалла равной 10^4 кг/м3, модуль Юнга E=100 ГПа, относительную атомную массу Ar=60
РЕШЕНИЕ