Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.
Динамика:
Аналитическая механика
§ 50. Системы с качением. Неголономные связи
Задачи по теме с решениями
50.1. Показать, что условие качения диска без проскальзывания по заданной кривой на поверхности выражается в виде конечного соотношения между обобщенными координатами.
РЕШЕНИЕ
50.2. Получить условие качения без скольжения тела, поверхность которого является цилиндрической поверхностью, по плоскости.
РЕШЕНИЕ
50.3. Решить предыдущую задачу в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является эллипсом.
РЕШЕНИЕ
50.4. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является параболой.
РЕШЕНИЕ
50.5. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является ветвью гиперболы.
РЕШЕНИЕ
50.6. Получить условие качения без скольжения тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверхности. В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять s, θ, где s —длина дуги вдоль направляющей опорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки до точки К соприкосновения двух направляющих, θ -угол между осью системы координат скрепленной с сечением тела, и касательной в точке К.
РЕШЕНИЕ
50.7. Решить предыдущую задачу в случае, когда по круговому цилиндру радиуса r катится без скольжения цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) парабола, 3) ветвь гиперболы.
РЕШЕНИЕ
50.8. В вариаторе угловой скорости (см. рисунок) расстояние диска радиуса r от оси горизонтального абсолютно шероховатого диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь между углами поворота φ и ψ дисков.
РЕШЕНИЕ
50.9. Два шероховатых круговых конуса, оси которых параллельны, соприкасаются при помощи колесика. Ось колесика параллельна образующим конусов. Колесико может перемещаться вдоль своей оси по произвольному закону. Найти связь между угловыми скоростями вращения конусов, если α - угол между осью и образующей конуса, h — высота конуса.
РЕШЕНИЕ
50.10. Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном направлении.
РЕШЕНИЕ
50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении диска радиуса а по абсолютно шероховатой плоскости, приняв в качестве параметров, определяющих положение диска, 1) координаты xс, ус, zc центра диска и углы Эйлера θ, ψ, φ, 2) координаты x, y точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера θ, ψ, φ.
РЕШЕНИЕ
50.12. Решить предыдущую задачу для диска с острым краем, когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направлении.
РЕШЕНИЕ
50.13. Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня) катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна плоскости. Найти уравнение кинематической связи.
РЕШЕНИЕ
50.14. Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой поверхности. Найти уравнения кинематической связи в случаях, когда поверхность представляет собой 1) плоскость, 2) цилиндр радиуса R, 3) сферическую чашку радиуса R (R>a), 4) конус с углом а между осью и образующей.
РЕШЕНИЕ
50.15. Эллипсоид вращения (а —большая полуось, b — малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные координаты x, y, θ, ψ, φ, где x, у — координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, θ, ψ, φ — углы Эйлера.
РЕШЕНИЕ
50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой плоскости, b— радиус кривизны меридиана тора на экваторе, a+b - радиус экваториальной окружности тора. Найти уравнения кинематической связи, приняв за обобщенные координаты x, y, θ, ψ, φ. где x, у — координаты точки соприкосновения тора с плоскостью, θ — угол наклона тора, ψ — угол между следом средней плоскости тора и осью Ох, φ — угол собственного вращения тора.
РЕШЕНИЕ
50.17. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы двухколесной тележки. Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой катаются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на общей оси, r — радиус колес, l — длина полуоси.
РЕШЕНИЕ
50.18. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обеспечивают качение без скольжения лишь в продольном направлении; r —радиус опорных колес, 2l—ширина колеи.
РЕШЕНИЕ
50.19. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы буера.
РЕШЕНИЕ
50.20. Абсолютно шероховатый диск радиуса r катится по прямой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той же прямой. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из диска и стержня.
РЕШЕНИЕ
50.21. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров. Два одинаковых цилиндра радиуса r катаются но горизонтальной плоскости, а третий цилиндр радиуса R катается по этим двум цилиндрам.
РЕШЕНИЕ
50.22. Составить уравнения движения гусеничного трактора, описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, передаваемый от двигателя на левую гусеницу, равен М1 (t), а на правую гусеницу — M2(t), m— масса трактора. Массой гусениц и колес пренебречь; J — момент инерции трактора относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.
РЕШЕНИЕ
50.23. Показать, что железнодорожная колесная пара (скат) при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень свободы.
РЕШЕНИЕ
50.24. Однородный диск радиуса а и массы m катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, θ, ψ, φ, где хс, ус — координаты центра масс диска, θ, ψ, φ —углы Эйлера, 2) в координатах x, y, θ, ψ, φ где x у — координаты точки контакта диска с плоскостью, θ, ψ, φ — углы Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах pqr являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции; A, С — главные центральные моменты инерции диска.
РЕШЕНИЕ
50.25. Используя решение предыдущей задачи, найти все возможные стационарные движения диска.
РЕШЕНИЕ
50.26. Найти условия устойчивости движения диска 1) при качении диска по прямой, когда плоскость диска вертикальна; 2) при верчении диска вокруг неподвижного вертикального диаметра; 3) при качении диска по окружности, когда плоскости диска вертикальны.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
50.2. Получить условие качения без скольжения тела, поверхность которого является цилиндрической поверхностью, по плоскости.
РЕШЕНИЕ
50.3. Решить предыдущую задачу в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является эллипсом.
РЕШЕНИЕ
50.4. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является параболой.
РЕШЕНИЕ
50.5. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является ветвью гиперболы.
РЕШЕНИЕ
50.6. Получить условие качения без скольжения тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверхности. В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять s, θ, где s —длина дуги вдоль направляющей опорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки до точки К соприкосновения двух направляющих, θ -угол между осью системы координат скрепленной с сечением тела, и касательной в точке К.
РЕШЕНИЕ
50.7. Решить предыдущую задачу в случае, когда по круговому цилиндру радиуса r катится без скольжения цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) парабола, 3) ветвь гиперболы.
РЕШЕНИЕ
50.8. В вариаторе угловой скорости (см. рисунок) расстояние диска радиуса r от оси горизонтального абсолютно шероховатого диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь между углами поворота φ и ψ дисков.
РЕШЕНИЕ
50.9. Два шероховатых круговых конуса, оси которых параллельны, соприкасаются при помощи колесика. Ось колесика параллельна образующим конусов. Колесико может перемещаться вдоль своей оси по произвольному закону. Найти связь между угловыми скоростями вращения конусов, если α - угол между осью и образующей конуса, h — высота конуса.
РЕШЕНИЕ
50.10. Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном направлении.
РЕШЕНИЕ
50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении диска радиуса а по абсолютно шероховатой плоскости, приняв в качестве параметров, определяющих положение диска, 1) координаты xс, ус, zc центра диска и углы Эйлера θ, ψ, φ, 2) координаты x, y точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера θ, ψ, φ.
РЕШЕНИЕ
50.12. Решить предыдущую задачу для диска с острым краем, когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направлении.
РЕШЕНИЕ
50.13. Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня) катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна плоскости. Найти уравнение кинематической связи.
РЕШЕНИЕ
50.14. Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой поверхности. Найти уравнения кинематической связи в случаях, когда поверхность представляет собой 1) плоскость, 2) цилиндр радиуса R, 3) сферическую чашку радиуса R (R>a), 4) конус с углом а между осью и образующей.
РЕШЕНИЕ
50.15. Эллипсоид вращения (а —большая полуось, b — малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные координаты x, y, θ, ψ, φ, где x, у — координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, θ, ψ, φ — углы Эйлера.
РЕШЕНИЕ
50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой плоскости, b— радиус кривизны меридиана тора на экваторе, a+b - радиус экваториальной окружности тора. Найти уравнения кинематической связи, приняв за обобщенные координаты x, y, θ, ψ, φ. где x, у — координаты точки соприкосновения тора с плоскостью, θ — угол наклона тора, ψ — угол между следом средней плоскости тора и осью Ох, φ — угол собственного вращения тора.
РЕШЕНИЕ
50.17. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы двухколесной тележки. Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой катаются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на общей оси, r — радиус колес, l — длина полуоси.
РЕШЕНИЕ
50.18. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обеспечивают качение без скольжения лишь в продольном направлении; r —радиус опорных колес, 2l—ширина колеи.
РЕШЕНИЕ
50.19. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы буера.
РЕШЕНИЕ
50.20. Абсолютно шероховатый диск радиуса r катится по прямой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той же прямой. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из диска и стержня.
РЕШЕНИЕ
50.21. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров. Два одинаковых цилиндра радиуса r катаются но горизонтальной плоскости, а третий цилиндр радиуса R катается по этим двум цилиндрам.
РЕШЕНИЕ
50.22. Составить уравнения движения гусеничного трактора, описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, передаваемый от двигателя на левую гусеницу, равен М1 (t), а на правую гусеницу — M2(t), m— масса трактора. Массой гусениц и колес пренебречь; J — момент инерции трактора относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.
РЕШЕНИЕ
50.23. Показать, что железнодорожная колесная пара (скат) при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень свободы.
РЕШЕНИЕ
50.24. Однородный диск радиуса а и массы m катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, θ, ψ, φ, где хс, ус — координаты центра масс диска, θ, ψ, φ —углы Эйлера, 2) в координатах x, y, θ, ψ, φ где x у — координаты точки контакта диска с плоскостью, θ, ψ, φ — углы Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах pqr являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции; A, С — главные центральные моменты инерции диска.
РЕШЕНИЕ
50.25. Используя решение предыдущей задачи, найти все возможные стационарные движения диска.
РЕШЕНИЕ
50.26. Найти условия устойчивости движения диска 1) при качении диска по прямой, когда плоскость диска вертикальна; 2) при верчении диска вокруг неподвижного вертикального диаметра; 3) при качении диска по окружности, когда плоскости диска вертикальны.
РЕШЕНИЕ