Перпендикулярность плоскостей
1 Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр AC к плоскости α. Докажите, что ABC линейный угол двугранного угла AMNC.
РЕШЕНИЕ
2 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
РЕШЕНИЕ
1 Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
РЕШЕНИЕ
2 Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.
РЕШЕНИЕ
3 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.
РЕШЕНИЕ
4 На ребре двугранного угла 120 взят отрезок длиной c, и из его концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях данного двугранного угла и имеющие длины a и b. Найти длину отрезка прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.
РЕШЕНИЕ
1 Из вершины В треугольника АВС, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ВАС = 150 и двугранный угол ВАСВ1 равен 45
РЕШЕНИЕ
2 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.
РЕШЕНИЕ
3 Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники равносторонние; прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
РЕШЕНИЕ
1 Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
РЕШЕНИЕ
2 Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.
РЕШЕНИЕ
3 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.
РЕШЕНИЕ
4 На ребре двугранного угла 120 взят отрезок длиной c, и из его концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях данного двугранного угла и имеющие длины a и b. Найти длину отрезка прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.
РЕШЕНИЕ
1 Из вершины В треугольника АВС, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ВАС = 150 и двугранный угол ВАСВ1 равен 45
РЕШЕНИЕ
2 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n.
РЕШЕНИЕ
3 Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники равносторонние; прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB
РЕШЕНИЕ