Раздел: Геометрия
Подготовительные задачи
Полное условие:
Подготовительные задачи
13.1. Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках B и C. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками B и C, если ∠BAC = 70°.
13.2. Пусть AB и AC — равные хорды, MAN — касательная, градусная мера дуги BC, не содержащей точки A, равна 200°. Найдите углы MAB и NAC.
13.3. Треугольник ABC равнобедренный. Радиус OA описанного круга образует с основанием AC угол OAC, равный 20°. Найдите угол BAC.
13.4. Окружность описана около равностороннего треугольника ABC. На дуге BC, не содержащей точку A, расположена точка M, делящая градусную меру этой дуги в отношении 1:2. Найдите углы треугольника AMB.
13.5. Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности. Известно, что градусные меры меньших дуг AB, BC, CD и AD относятся как 1:3:5:6. Найдите углы четырёхугольника ABCD.
13.6. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC, пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F. Угол AEC в 5 раз больше угла BAF, а угол ABC равен 72°. Найдите радиус окружности, если AC = 6.
13.7. Из точки P, расположенной внутри острого угла с вершиной A, опущены перпендикуляры PB и PC на стороны угла. Известно, что ∠CBP = 25°. Найдите угол CAP.
13.8. В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона AB которого равна a. Из конца K диаметра KP, параллельного стороне AB, сторона BC видна под углом β. Найдите радиус окружности.
13.9. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠BCD = 80°, ∠ACB = 50° и ∠ABD = 30°. Найдите угол ADB.
13.10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ACB = 25°, ∠ACD = 40° и ∠BAD = 115°. Найдите угол ADB.
13.11. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABC = 116°, ∠ADC = 64°, ∠CAB = 35° и ∠CAD = 52°. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону AB.
13.12. В четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 45°, ∠BAC = 30°, BC = 1. Найдите AD.
13.13. Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы: ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BKC = γ, где K — точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.
Тренировочные задачи
13.14. Около треугольника ABC, в котором BC = a, ∠B = α, ∠C = β, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке K. Найдите AK.
13.15. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; стороны AD и BC пересекаются в точке M. Углы B и D равны по 40°. Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB, ∠AMC = 70°. Найдите углы треугольников ABC и ADC.
13.16. Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10°; A и B - проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM.
13.17. Вершина угла величиной 70° служит началом луча, образующего с его сторонами углы 30° и 40°. Из некоторой точки M на этот луч и на стороны угла опущены перпендикуляры, основания которых - A, B и C. Найдите углы треугольника ABC.
13.18. В остроугольном треугольнике ABC из основания D высоты BD опущены перпендикуляры DM и DN на стороны AB и BC. Известно, что MN = a, BD = b. Найдите угол ABC.
13.19. Хорда делит окружность в отношении 11:16. Найдите угол между касательными, проведёнными через концы этой хорды.
13.20. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности, и найдите её радиус.
13.21. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OE = 1, а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E, D и O. Найдите стороны и углы треугольника EDO.
13.22. В треугольнике ABC угол B прямой, величина угла A равна α ≠ 45°, точка D - середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке C относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.
13.23. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной C, если AB = c и ∠C = 120°.
13.24. В четырёхугольнике ABCD углы B и D прямые. Диагональ AC образует со стороной AB острый угол в 40°, а со стороной AD — угол в 30°. Найдите острый угол между диагоналями AC и BD.
13.25. В прямоугольном треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°, O — середина гипотенузы AB, P — центр вписанной окружности. Найдите угол POC.
13.26. В параллелограмме ABCD острый угол равен α. Окружность радиуса r проходит через вершины A, B, C и пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN.
13.27. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N соответственно. Точка M удалена от вершин B, C и D на расстояния 4, 3 и 2 соответственно. Найдите MN.
13.28. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к BC, пересекает сторону AD в точке M. Докажите, что EM - медиана треугольника AED, и найдите её длину, если AB = 7, CE = 3, ∠ADB = α.
13.29. Дан треугольник ABC. Из вершины A проведена медиана AM, а из вершины B — медиана BP. Известно, что угол APB равен углу BMA. Косинус угла ACB равен 0,8 и BP = 1. Найдите площадь треугольника ABC.
13.30. В треугольнике ABC угол ABC равен α, угол BCA равен 2α. Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB.
13.31. Точка E лежит на продолжении стороны AC правильного треугольника ABC за точку C. Точка K — середина отрезка CE. Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно AB, и прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.
13.32. Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что угол CMA равен 30° и угол BMA равен α. Найдите угол ABM.
13.33. В трапеции MNPQ (MQ || NP) угол NQM в два раза меньше угла MPN. Известно, что NP = MP = 13/2, MQ = 12. Найдите площадь трапеции.
13.34. Дан угол, равный α. На его биссектрисе взята точка K; P и M — проекции K на стороны угла. На отрезке PM взята точка A, причём KA = a. Прямая, проходящая через A перпендикулярно KA, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите площадь треугольника BKC.
13.35. На биссектрисе угла с вершиной L взята точка A. Точки K и M - основания перпендикуляров, опущенных из точки A на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (KP < PM), и через неё перпендикулярно к отрезку AP проведена прямая, пересекающая прямую KL в точке Q (K между Q и L), а прямую ML — в точке S. Известно, что ∠KLM = α, KM = a, QS = b. Найдите QK.
13.36. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90° и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно √2. Найдите BC.
13.37. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает прямую AC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает прямую AB в точке N. Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC. Найдите углы треугольника ABC.
13.38. В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, проходящая через точки касания сторон BC и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON соответственно в точках P и Q. Найдите PQ, если MN = 2.
Решение, ответ задачи 15803 из ГДЗ и решебников:
