Раздел: Геометрия
Подготовительные задачи
Полное условие:
Подготовительные задачи
8.1. В окружности проведён диаметр AB. Прямая, проходящая через точку A, пересекает в точке C касательную к окружности, проведённую через точку B. Отрезок AC делится окружностью пополам. Найдите угол BAC.
8.2. Две прямые касаются окружности с центром O в точках A и B и пересекаются в точке C. Найдите угол между этими прямыми, если ∠ ABO = 40°.
8.3. В большей из двух концентрических окружностей (имеющих общий центр) проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.
8.4. Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM делится прямой AB?
8.5. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности.
8.6. Прямая, проходящая через точку M, удалённую от центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, касается окружности в точке A. Найдите AM.
8.7. Окружности радиусов R и r (R > r) касаются некоторой прямой. Линия центров пересекает эту прямую под углом 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей.
8.8. Из точки M проведены касательные MA и MB к окружности с центром O (A и B - точки касания). Найдите радиус окружности, если ∠ AMB = α и AB = a.
8.9. Окружность с центром O касается двух параллельных прямых. Проведена касательная к окружности, пересекающая эти прямые в точках A и B. Найдите угол AOB.
8.10. На окружности радиуса r выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, которые относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.
8.11. Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны a и b. Найдите радиус окружности.
8.12. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Тренировочные задачи
8.13. Из точки M, лежащей вне окружности радиуса 1, проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные MA и MB. Между точками касания A и B на меньшей дуге AB взята произвольная точка C, и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными MA и MB треугольник KLM. Найдите периметр этого треугольника.
8.14. На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.
8.15. Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
8.16. Две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в точках O1 и O2 касаются некоторой прямой в точках M1 и M2 соответственно и лежат по разные стороны от этой прямой. Отношение отрезка O1O2 к отрезку M1M2 равно 2/√3. Найдите O1O2.
8.17. Две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках O1 и O2 касаются некоторой прямой в точках M1 и M2 и лежат по одну сторону от этой прямой. Отношение отрезков M1M2 и O1O2 равно 2√5/5. Найдите M1M2.
8.18. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 16 и катет BC равен 12. Из центра B радиусом BC описана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе. Катет BC продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определите, на сколько продолжен катет.
8.19. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.
8.20. В треугольнике ABC известно, что BC = a, ∠ A = α, ∠ B = β. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AC в точке A и касающейся стороны BC.
8.21. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найдите радиус окружности.
8.22. Найдите длину хорды, если дан радиус r окружности и расстояние a от одного конца хорды до касательной, проведённой через другой её конец.
8.23. Один из смежных углов с вершиной A вдвое больше другого. В эти углы вписаны окружности с центрами O1 и O2. Найдите углы треугольника O1AO2, если отношение радиусов окружностей равно √3.
8.24. В равнобедренной трапеции с острым углом α при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?
8.25. В окружности радиуса R = 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол п/8. В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке C. Найдите медиану AM треугольника ABC.
8.26. На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12, взяты точки A и B, причём OA = 15, AB = 5 и A лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C - точка пересечения этих касательных.
8.27. В угол с вершиной A, равный 60°, вписана окружность с центром O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AM:MO = 2:3 и BC = 7.
8.28. Через точку A окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и AC. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если AB = 16.
Решение, ответ задачи 15635 из ГДЗ и решебников:
