Задачи на тему Отношение площа ...
Подробнее смотрите ниже

Раздел: Геометрия

Подготовительные задачи

7.1. Найдите площадь треугольника, вершины которого - середины сторон треугольника площади 4.

7.2. Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K - на стороне AC, причём BM:MN:NC = 1:1:2 и CK:AK = 1:4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.

7.3. На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N, причём AM:MN:NB = 2:2:1, а на стороне AC - точка K, причём AK:KC = 1:2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника ABC равна 1.

7.4. Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1.

7.5. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC₁/C₁B = BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = 1/2. Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

7.6. Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

7.7. Из середины основания треугольника площади S проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите площадь полученного таким образом параллелограмма.

Тренировочные задачи

7.8. Из точки на основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Они разбивают треугольник на параллелограмм и два треугольника с площадями S₁ и S₂. Найдите площадь параллелограмма.

7.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы CF и AD. Найдите отношение площадей треугольников AFD и ABC, если AB:AC:BC = 21:28:20.

7.10. Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся как m/n. Найдите отношение площади ромба к площади треугольника.

7.11. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних равны S₁ и S₂.

7.12. Четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Площади трёх из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёхугольника.

7.13. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.

7.14. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P - середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если AD = 2BC.

7.15. Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

7.16. Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

7.17. В трапеции ABCD (BC || AD) диагонали пересекаются в точке M, BC = b, AD = a. Найдите отношение площади треугольника ABM к площади трапеции ABCD.

7.18. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны BC и AC в два раза больше основания AB. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке M. Какую часть треугольника ABC составляет площадь треугольника AMB?

7.19. В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

7.20. В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен 1/3. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

7.21. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что прямые MC и NC разбивают параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.

7.22. В треугольнике ABC угол A равен 45°, а угол C - острый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся как 1:8. Найдите углы треугольника ABC.

7.23. В треугольнике ABC из точки E стороны BC проведена прямая, параллельная высоте BD и пересекающая сторону AC в точке F. Отрезок EF делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры. Найдите EF, если BD = 6, AD/DC = 2/7.

7.24. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых - треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь данного треугольника.

7.25. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно S₁ и S₂. Найдите AC.

7.26. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4, AD = 3. Найдите сторону BC.

7.27. Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, b и m, c и n. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

7.28. Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на стороны AB, BC и CA. Перпендикуляры соответственно равны l, m, n. Вычислите площадь треугольника ABC, если углы BAC, ABC и ACB соответственно равны α, β и γ.

7.29. Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает прямые AB и AD в точках K и L. Площади треугольников KBC и CDL равны p и q. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

7.30. На боковых сторонах AD и BC трапеции ABCD взяты точки P и Q соответственно, причём AP:PD = 3:2. Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CQ:QB, если AB:CD = 3:2.

7.31. На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C₁, B₁ и A₁ так, что треугольник A₁B₁C₁ - правильный. Отрезок BB₁ пересекает сторону C₁A₁ в точке O, причём BO/OB₁ = k. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A₁B₁C₁.

7.32. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причем AC₁/C₁B = BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = 2/1. Найдите площадь треугольника, вершины которого - попарные пересечения отрезков AA₁, BB₁, CC₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

Решение, ответ задачи 15602 из ГДЗ и решебников:

Для корректного отображения добавьте наш сайт в исключения блокировщика.