Раздел: Геометрия
Подготовительные задачи
Полное условие:
Подготовительные задачи
6.1. На медиане AM треугольника ABC взята точка K, причём AK:KM = 1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC, делит сторону BC.
6.2. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, причём CN = AC; точка K - середина стороны AB. В каком отношении прямая KN делит сторону BC?
6.3. На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM:MC = 4:5 и BK:AB = 1:5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN:AN.
6.4. На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки K и L, причём AK:KB = 4:7 и AL:LC = 3:2. Прямая KL пересекает продолжение стороны BC в точке M. Найдите отношение CM:BC.
6.5. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN:NB = 3:2, BM:MC = 2:5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM:OA и ON:OD.
6.6. На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём AN:NB = 3:2, AM:MC = 4:5. Прямые BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM:OB и ON:OC.
6.7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне BC взята точка D так, что BD:DC = 1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B?
6.8. На медиане AA1 треугольника ABC взята точка M, причём AM:MA1 = 1:3. В каком отношении прямая BM делит сторону AC?
6.9. Точки A1 и C1 расположены на сторонах BC и AB треугольника ABC. Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке M. В каком отношении прямая BM делит сторону AC, если AC1:C1B = 2:3 и BA1:A1C = 1:2?
6.10. В треугольнике ABC известно, что AB = c, BC = a, AC = b. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису CD?
Тренировочные задачи
6.11. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR - точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите отношение PN:PR.
6.12. В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении BD:DC = 2:1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?
6.13. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки K, L и M, причём AK:KB = 2:3, BL:LC = 1:2, CM:MA = 3:1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?
6.14. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC взята точка L, делящая AC в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL, отстоит от прямой AB на расстоянии 1,5. Найдите сторону AB.
6.15. В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что AP < AQ. Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что PQ = 3. Найдите AC.
6.16. Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 4, AC = 2 и BC = 3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найдите KM.
6.17. Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K - середина AD. В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?
6.18. Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковая сторона AB касается окружности в точке M, а основание AD - в точке N. Отрезки MN и AC пересекаются в точке P, причём NP:PM = 2. Найдите отношение AD:BC.
6.19. Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны отношения AB:DC = 1:2 и BD:AC = 2:3. Найдите DA:BC.
6.20. В треугольнике ABC проведена высота AD. Прямые, одна из которых содержит медиану BK, а вторая — биссектрису BE, делят эту высоту на три равных отрезка. Известно, что AB = 4. Найдите сторону AC.
6.21. При каком отношении оснований трапеции существует прямая, на которой шесть точек пересечения с диагоналями, боковыми сторонами и продолжениями оснований трапеции высекают пять равных отрезков?
6.22. В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла B пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка K лежит на основании AD.
а) В каком отношении прямая LN делит сторону AB, а прямая MK - сторону BC?
б) Найдите отношение MN:KL, если LM:KN = 3:7.
6.23. Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N - точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN - в точке P, AB:BC = 2:3. Найдите AP:PC.
Решение, ответ задачи 15578 из ГДЗ и решебников:
