Раздел: Геометрия
Подготовительные задачи
Полное условие:
Подготовительные задачи
5.1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
5.2. Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4.
5.3. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту.
5.4. Стороны треугольника равны 10,17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.
5.5. В треугольнике ABC известно, что AB = a, AC = b, ∠ BAC = 120°. Найдите биссектрису AM.
5.6. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите биссектрису, проведённую из вершины прямого угла.
5.7. В треугольнике ABC известно, что AB = 8, AC = 6, ∠ BAC = 60°. Найдите биссектрису AM.
5.8. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.
Тренировочные задачи
5.9. Найдите высоты треугольника, если его площадь равна S, а углы равны α, β и γ.
5.10. Расстояния от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10, BC= 17, AC = 21.
5.11. К окружности радиуса 7 проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на расстояние, равное 25. Найдите расстояние между точками касания.
5.12. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
5.13. На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если катет BC равен a, а катет AC равен b.
5.14. На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет AC равен b, а катет BC равен a.
5.15. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.
5.16. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что CE = c и DE = d. Найдите BE.
5.17. В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC - в точке N. Известно, что AC = 2, AB = 3, AM:MB = 2:3. Найдите AN.
5.18. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса CD из вершины прямого угла C. Известно, что AD = m, BD = n. Найдите высоту, опущенную из вершины C.
5.19. В треугольнике ABC угол C равен 60°, а биссектриса CD равна 5√3. Длины сторон AC и BC относятся как 5:2 соответственно. Найдите тангенс угла A и сторону BC.
5.20. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N - прямая, перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите BP, если известно, что BC = 6.
5.21. Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную из вершины A, если AB = 5, AC = 2, а точки A, D, E, C лежат на одной окружности.
5.22. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD. Найдите длины отрезков CD, CE, DE и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник ABC и описанной около треугольника ABC, если AC = 2, BC = 4, ∠ ACB = arccos(11/16).
5.23. В треугольнике ABC отношение стороны BC к стороне AC равно 3, a ∠ ACB = α. Из вершины C проведены два луча, делящие угол ACB на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника ABC.
5.24. Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD = BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC, если BC = 2.
5.25. В треугольнике KLM проведена биссектриса KP. Окружность, вписанная в треугольник KLP, касается стороны KL в точке Q, причём LQ = a. На сторонах KL и LM выбраны точки E и R соответственно так, что прямая ER проходит через центр окружности, вписанной в треугольник KLM. Найдите длину биссектрисы KP, если известно, что EL+LR = b, а отношение площадей треугольников KLP и ELR равно α.
Решение, ответ задачи 15552 из ГДЗ и решебников:
