Задачи из решебника Мещерского онлайн, 1986 г.
Статика твердого тела:
Плоская система сил
§ 5. Силы трения
Задачи на тему
5.1 Определить необходимую затяжку болта, скрепляющего две стальные полосы, разрываемые силой P=2 кН. Болт поставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент трения между листами равен 0,2. Указание. Болт не должен работать на срез, поэтому его надо затянуть с такой силой, чтобы развивающееся между листами трение могло предотвратить скольжение листов. Сила, действующая вдоль оси болта, и является искомой затяжкой.
РЕШЕНИЕ
5.2 Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке, склеиваются свободными концами через лист таким образом, что получаются две самостоятельные кипы A и B. Вес каждого листа 0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бумагу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Предполагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонтальное усилие P, необходимое для того, чтобы вытащить вторую кипу.
РЕШЕНИЕ
5.3 Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув некоторой определенной скорости, движется затем равномерно. Определить сопротивление R, которое испытывает вагон при этой скорости, если вес вагона равен 500 кН. Уклоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла.
РЕШЕНИЕ
5.4 Поезд поднимается по прямолинейному пути, имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12000 кН. Какова сила тяги P электровоза, если сопротивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы?
РЕШЕНИЕ
5.5 Негладкой наклонной плоскости придан такой угол α наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту плоскость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сообщена в начале движения. Определить коэффициент трения f.
РЕШЕНИЕ
5.6 Найти угол естественного откоса земляного грунта, если коэффициент трения для этого грунта f=0,8. Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откоса к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в равновесии.
РЕШЕНИЕ
5.7 Ящик веса P стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом β надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.
РЕШЕНИЕ
5.8 Три груза A, B, C веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны fA=0,1, fB=0,25 и fC=0,5 соответственно. Определить угол α, при котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжения тросов TAB и TBC.
РЕШЕНИЕ
5.9 На верхней грани прямоугольного бруса B, вес которого 200 Н, находится прямоугольный брус A веса 100 Н. Брус B опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность C, причем коэффициент трения между ними f2=0,2. Коэффициент трения между брусами A и B f1=0,5. На брус A действует сила P=60 Н, образующая с горизонтом угол α=30°. Будет ли брус A двигаться относительно B? Будет ли брус B двигаться относительно плоскости C?
РЕШЕНИЕ
5.10 Два тела A и B расположены на наклонной плоскости C так, как показано на рисунке. Тело A весит 100 Н, тело B — 200 Н. Коэффициент трения между A и B f1=0,6, между B и C f2=0,2. Исследовать состояние системы при различных значениях силы P, приложенной к телу A параллельно наклонной плоскости.
РЕШЕНИЕ
5.11 На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус B веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоугольный брус A веса 200 Н, который, скользя по наклонной плоскости, натягивает трос. Коэффициенты трения с наклонной плоскостью fA=0,5 и fB=2/3. Будет ли система в дальнейшем находиться в покое? Найти натяжение T троса и величины сил трения, действующие на каждое тело. Весом троса пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.12 Клин C вставлен между двумя телами A и B, которые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сторона клина вертикальна, другая — образует с вертикалью угол α=arctg 1/3. Вес тела A равен 400 Н, а вес тела B 300 Н; коэффициенты трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также значение силы трения F, действующей при этом со стороны горизонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело.
РЕШЕНИЕ
5.13 Цилиндр A лежит в направляющих B, поперечное сечение которых — симметричный клин с углом раствора θ. Коэффициент трения между цилиндром A и направляющей B равен f. Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы P цилиндр начнет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол θ, чтобы движение началось при значении силы P, равной весу цилиндра Q?
РЕШЕНИЕ
5.14 Цилиндр веса Q лежит на двух опорах A и B, расположенных симметрично относительно вертикали, проходящей через центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опорами равен f. При какой величине тангенциальной силы T цилиндр начнет вращаться? При каком угле θ это устройство будет самотормозящимся?
РЕШЕНИЕ
5.15 Пренебрегая трением между ползуном A и направляющей, а также трением во всех шарнирах и подшипниках кривошипного механизма, определить, какова должна быть сила P, необходимая для поддерживания груза Q при указанном на рисунке положении механизма. Каковы минимальное и максимальное значения P, обеспечивающие неподвижность груза Q, если коэффициент трения между ползуном A и направляющей равен f?
РЕШЕНИЕ
5.16 Груз B веса P удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ — угол трения. Определить натяжение троса как функцию угла α. Найти условие, которому должен удовлетворять угол α, чтобы натяжение троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и блока A пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.17 Груз B веса P удерживается в равновесии при спуске по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ — угол трения. Определить натяжение троса S как функцию угла α. В каких пределах может меняться натяжение троса при равновесии груза B? Размерами груза и блока пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.18 Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через гладкое отверстие A и несущий груз P. Коэффициент трения груза о направляющие f=0,1. Вес груза Q=100 Н, груза P=50 Н. Расстояние от отверстия A до оси направляющих OA=15 см. Определить границы зоны застоя (геометрического места положений равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.19 Автомобиль удерживается с помощью тормозов на наклонной части дороги. При перемещении тормозной педали на 2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на 0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диаметр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент трения скольжения между тормозными колодками и диском f=0,5. Тормоза всех колес работают одинаково.
РЕШЕНИЕ
5.20. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Определить границы участков, где равновесие невозможно, если вес груза Q = 100 Н, груза Р = 45 Н, коэффициент трения скольжения f = 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляющих h = 15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.21 К валу приложена пара сил с моментом M=100 Н*м. На валу заключено тормозное колесо, радиус r которого равен 25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормозные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент трения покоя f между колесом и колодками равен 0,25.
РЕШЕНИЕ
5.22 Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем пазу. Коэффициент трения f не более 0,5. Определить наибольшую высоту h, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери l=0,8 м; центр тяжести двери находится на ее вертикальной оси симметрии.
РЕШЕНИЕ
5.23 Цилиндрический вал веса Q и радиуса R приводится во вращение грузом, подвешенным к нему на веревке; вес груза равен P. Радиус шипов вала r=R/2. Коэффициент трения в подшипниках равен 0,05. Определить, при каком отношении веса Q к весу P груза последний опускается равномерно.
РЕШЕНИЕ
5.24 Кронштейн, нагруженный вертикальной силой P=600 Н, прикреплен к стене двумя болтами. Определить затяжку болтов, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэффициент трения между кронштейном и стеной f=0,3. Для большей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут только верхний болт и что болты поставлены с зазором и не должны работать на срез. Дано b/a > f. Указание. Затяжкой называется усилие, действующее вдоль оси болта. Полная затяжка верхнего болта состоит из двух частей: первая устраняет возможность отрыва кронштейна и опрокидывания его вокруг нижнего болта, вторая обеспечивает то нормальное давление верхней части кронштейна на стену, которое вызывает необходимую силу трения.
РЕШЕНИЕ
5.25 Пест AB приводится в движение пальцами M, насаженными на вал. Вес песта 180 Н. Расстояние между направляющими C и D равно b=1,5 м. Расстояние точки прикосновения пальца к выступу от оси песта a=0,15 м. Найти силу P, необходимую для подъема песта, если принять во внимание силу трения между направляющими C и D и пестом, равную 0,15 давления между трущимися частями.
РЕШЕНИЕ
5.26 Горизонтальный стержень AB имеет на конце A отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD; длина втулки b=2 см; в точке E на расстоянии a от оси стойки к стержню подвешен груз P. Определить, пренебрегая весом стержня AB, расстояние a так, чтобы под действием груза P стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой f=0,1.
РЕШЕНИЕ
5.27 К вертикальной стене приставлена лестница AB, опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения лестницы о стену f1, о пол f2. Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен p и приложен в точке C, которая делит длину лестницы в отношении m/n. Определить наибольший угол α, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакций NA стены и NB пола для этого значения α.
РЕШЕНИЕ
5.28 Лестница AB веса P упирается в гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен f. Под каким углом α к полу надо поставить лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху человек, вес которого p?
РЕШЕНИЕ
5.29 Лестница AB опирается на негладкую стену и негладкий пол, составляя с последним угол 60°. На лестнице помещается груз P. Пренебрегая весом лестницы, определить графически наибольшее расстояние BP, при котором лестница остается в покое. Угол трения для стены и пола равен 15°.
РЕШЕНИЕ
5.30 Тяжелый однородный стержень AB лежит на двух опорах C и D, расстояние между которыми CD=a, AC=b. Коэффициент трения стержня об опоры равен f. Угол наклона стержня к горизонту равен α. Какому условию должна удовлетворять длина стержня 2l для того, чтобы стержень находился в равновесии, если толщиной его можно пренебречь?
РЕШЕНИЕ
5.31 Однородный брус опирается в точке A на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке B веревкой. Коэффициент трения бруса о пол равен f. Угол α, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле φ наклона веревки к горизонту брус начнет скользить?
РЕШЕНИЕ
5.32 Однородный стержень своими концами A и B может скользить по негладкой окружности радиуса a. Расстояние OC стержня до центра O окружности, расположенной в вертикальной плоскости, равно b. Коэффициент трения между стержнем и окружностью равен f. Определить для положений равновесия стержня угол φ, составляемый прямой OC с вертикальным диаметром окружности.
РЕШЕНИЕ
5.33 Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d=50 см, вращающихся в противоположные стороны, указанные стрелками на рисунке; расстояние между валами a=0,5 см. Какой толщины b листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов f=0,1? Для работы стана необходимо, чтобы лист захватывался вращающимися валами, т.е. чтобы равнодействующая приложенных к листу нормальных реакций и сил трения в точках A и B была направлена по горизонтали вправо.
РЕШЕНИЕ
5.34 Блок радиуса R снабжен двумя шипами радиуса r, симметрично расположенными относительно его средней плоскости. Шипы опираются на две цилиндрические поверхности AB с горизонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому подвешены грузы P и P1, причем P > P1. Определить наименьшую величину груза P1, при которой блок будет находиться в равновесии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндрические поверхности AB равен f, а вес блока с шипами Q. Указанное на рисунке положение системы не может быть положением равновесия; последнее требуется предварительно найти.
РЕШЕНИЕ
5.35 Для опускания грузов употребляется ворот с тормозом, изображенный на рисунке. С барабаном, на который намотана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое тормозят, надавливая на конец A рычага AB, соединенного цепью CD с концом D тормозного рычага ED. Диаметр колеса a=50 см; диаметр барабана b=20 см; ED=120 см; FE=60 см; AB=1 м; BC=10 см. Определить силу P, уравновешивающую груз Q=8 кН, подвешенный к подвижному блоку, если коэффициент трения дерева о сталь f=0,4; размерами колодки F пренебрегаем.
РЕШЕНИЕ
5.36 На гранях AB и BC призмы ABC помещены два одинаковых тела G и H веса P, связанные нитью, перекинутой через блок в точке B. Коэффициент трения между телами и гранями призмы равен f. Углы BAC и BCA равны 45°. Определить, пренебрегая трением на блоке, величину угла α наклона грани AC к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться.
РЕШЕНИЕ
5.37 Глубина заложения опор железнодорожного моста, перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давлением грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт — мелкозернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м2, вес 1 м3 песка, насыщенного водой, равен 18 кН, вес 1 м3 воды равен 10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в котором заключена каменная опора, 0,18. При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление на 1 м2 равно 10(6+0,9h) кН.
РЕШЕНИЕ
5.38 Определить угол α наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса r=50 мм равномерно катится по плоскости. Материал трущихся тел — сталь, коэффициент трения качения k=0,05 мм. Ввиду малости угла α можно принять α=tg α.
РЕШЕНИЕ
5.39 Определить силу P, необходимую для равномерного качения цилиндрического катка диаметра 60 см и веса 300 Н по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения качения k=0,5 см, а угол, составляемый силой P с горизонтальной плоскостью, равен α=30°.
РЕШЕНИЕ
5.40 На горизонтальной плоскости лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент трения скольжения шара о плоскость f, коэффициент трения качения k. При каких условиях горизонтальная сила P, приложенная в центре шара, сообщает ему равномерное качение?
РЕШЕНИЕ
5.41 При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рассматривается в равновесии под действием веса судна G, силы поддержания воды D, упора винтов R, а также сил, действующих со стороны льда в точке форштевня K: нормального давления N и максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня φ=30°, коэффициент трения f=0,2. Известны значения G=6000 кН, R=200 кН, a=20 м, b=2 м, e=1 м. Пренебрегая дифферентом судна, определить вертикальное давление судна на ледяной покров P, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести судна l.
РЕШЕНИЕ
5.42 Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной направляющей AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз P. Пренебрегая размером блока D, определить: 1) условие, при котором возможна зона застоя (геометрическое место возможных положений равновесия); 2) условие, при котором верхняя граница зоны застоя находится в положительной части оси y; 3) ординаты границ зоны застоя при Q=5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см; 4) ординаты границ зоны застоя при Q=1,5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
5.2 Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке, склеиваются свободными концами через лист таким образом, что получаются две самостоятельные кипы A и B. Вес каждого листа 0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бумагу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Предполагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонтальное усилие P, необходимое для того, чтобы вытащить вторую кипу.
РЕШЕНИЕ
5.3 Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув некоторой определенной скорости, движется затем равномерно. Определить сопротивление R, которое испытывает вагон при этой скорости, если вес вагона равен 500 кН. Уклоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла.
РЕШЕНИЕ
5.4 Поезд поднимается по прямолинейному пути, имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12000 кН. Какова сила тяги P электровоза, если сопротивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы?
РЕШЕНИЕ
5.5 Негладкой наклонной плоскости придан такой угол α наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту плоскость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сообщена в начале движения. Определить коэффициент трения f.
РЕШЕНИЕ
5.6 Найти угол естественного откоса земляного грунта, если коэффициент трения для этого грунта f=0,8. Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откоса к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в равновесии.
РЕШЕНИЕ
5.7 Ящик веса P стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом β надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.
РЕШЕНИЕ
5.8 Три груза A, B, C веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны fA=0,1, fB=0,25 и fC=0,5 соответственно. Определить угол α, при котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжения тросов TAB и TBC.
РЕШЕНИЕ
5.9 На верхней грани прямоугольного бруса B, вес которого 200 Н, находится прямоугольный брус A веса 100 Н. Брус B опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность C, причем коэффициент трения между ними f2=0,2. Коэффициент трения между брусами A и B f1=0,5. На брус A действует сила P=60 Н, образующая с горизонтом угол α=30°. Будет ли брус A двигаться относительно B? Будет ли брус B двигаться относительно плоскости C?
РЕШЕНИЕ
5.10 Два тела A и B расположены на наклонной плоскости C так, как показано на рисунке. Тело A весит 100 Н, тело B — 200 Н. Коэффициент трения между A и B f1=0,6, между B и C f2=0,2. Исследовать состояние системы при различных значениях силы P, приложенной к телу A параллельно наклонной плоскости.
РЕШЕНИЕ
5.11 На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус B веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоугольный брус A веса 200 Н, который, скользя по наклонной плоскости, натягивает трос. Коэффициенты трения с наклонной плоскостью fA=0,5 и fB=2/3. Будет ли система в дальнейшем находиться в покое? Найти натяжение T троса и величины сил трения, действующие на каждое тело. Весом троса пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.12 Клин C вставлен между двумя телами A и B, которые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сторона клина вертикальна, другая — образует с вертикалью угол α=arctg 1/3. Вес тела A равен 400 Н, а вес тела B 300 Н; коэффициенты трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также значение силы трения F, действующей при этом со стороны горизонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело.
РЕШЕНИЕ
5.13 Цилиндр A лежит в направляющих B, поперечное сечение которых — симметричный клин с углом раствора θ. Коэффициент трения между цилиндром A и направляющей B равен f. Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы P цилиндр начнет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол θ, чтобы движение началось при значении силы P, равной весу цилиндра Q?
РЕШЕНИЕ
5.14 Цилиндр веса Q лежит на двух опорах A и B, расположенных симметрично относительно вертикали, проходящей через центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опорами равен f. При какой величине тангенциальной силы T цилиндр начнет вращаться? При каком угле θ это устройство будет самотормозящимся?
РЕШЕНИЕ
5.15 Пренебрегая трением между ползуном A и направляющей, а также трением во всех шарнирах и подшипниках кривошипного механизма, определить, какова должна быть сила P, необходимая для поддерживания груза Q при указанном на рисунке положении механизма. Каковы минимальное и максимальное значения P, обеспечивающие неподвижность груза Q, если коэффициент трения между ползуном A и направляющей равен f?
РЕШЕНИЕ
5.16 Груз B веса P удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ — угол трения. Определить натяжение троса как функцию угла α. Найти условие, которому должен удовлетворять угол α, чтобы натяжение троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и блока A пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.17 Груз B веса P удерживается в равновесии при спуске по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ — угол трения. Определить натяжение троса S как функцию угла α. В каких пределах может меняться натяжение троса при равновесии груза B? Размерами груза и блока пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.18 Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через гладкое отверстие A и несущий груз P. Коэффициент трения груза о направляющие f=0,1. Вес груза Q=100 Н, груза P=50 Н. Расстояние от отверстия A до оси направляющих OA=15 см. Определить границы зоны застоя (геометрического места положений равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.19 Автомобиль удерживается с помощью тормозов на наклонной части дороги. При перемещении тормозной педали на 2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на 0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диаметр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент трения скольжения между тормозными колодками и диском f=0,5. Тормоза всех колес работают одинаково.
РЕШЕНИЕ
5.20. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Определить границы участков, где равновесие невозможно, если вес груза Q = 100 Н, груза Р = 45 Н, коэффициент трения скольжения f = 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляющих h = 15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь.
РЕШЕНИЕ
5.21 К валу приложена пара сил с моментом M=100 Н*м. На валу заключено тормозное колесо, радиус r которого равен 25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормозные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент трения покоя f между колесом и колодками равен 0,25.
РЕШЕНИЕ
5.22 Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем пазу. Коэффициент трения f не более 0,5. Определить наибольшую высоту h, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери l=0,8 м; центр тяжести двери находится на ее вертикальной оси симметрии.
РЕШЕНИЕ
5.23 Цилиндрический вал веса Q и радиуса R приводится во вращение грузом, подвешенным к нему на веревке; вес груза равен P. Радиус шипов вала r=R/2. Коэффициент трения в подшипниках равен 0,05. Определить, при каком отношении веса Q к весу P груза последний опускается равномерно.
РЕШЕНИЕ
5.24 Кронштейн, нагруженный вертикальной силой P=600 Н, прикреплен к стене двумя болтами. Определить затяжку болтов, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэффициент трения между кронштейном и стеной f=0,3. Для большей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут только верхний болт и что болты поставлены с зазором и не должны работать на срез. Дано b/a > f. Указание. Затяжкой называется усилие, действующее вдоль оси болта. Полная затяжка верхнего болта состоит из двух частей: первая устраняет возможность отрыва кронштейна и опрокидывания его вокруг нижнего болта, вторая обеспечивает то нормальное давление верхней части кронштейна на стену, которое вызывает необходимую силу трения.
РЕШЕНИЕ
5.25 Пест AB приводится в движение пальцами M, насаженными на вал. Вес песта 180 Н. Расстояние между направляющими C и D равно b=1,5 м. Расстояние точки прикосновения пальца к выступу от оси песта a=0,15 м. Найти силу P, необходимую для подъема песта, если принять во внимание силу трения между направляющими C и D и пестом, равную 0,15 давления между трущимися частями.
РЕШЕНИЕ
5.26 Горизонтальный стержень AB имеет на конце A отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD; длина втулки b=2 см; в точке E на расстоянии a от оси стойки к стержню подвешен груз P. Определить, пренебрегая весом стержня AB, расстояние a так, чтобы под действием груза P стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой f=0,1.
РЕШЕНИЕ
5.27 К вертикальной стене приставлена лестница AB, опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения лестницы о стену f1, о пол f2. Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен p и приложен в точке C, которая делит длину лестницы в отношении m/n. Определить наибольший угол α, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакций NA стены и NB пола для этого значения α.
РЕШЕНИЕ
5.28 Лестница AB веса P упирается в гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен f. Под каким углом α к полу надо поставить лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху человек, вес которого p?
РЕШЕНИЕ
5.29 Лестница AB опирается на негладкую стену и негладкий пол, составляя с последним угол 60°. На лестнице помещается груз P. Пренебрегая весом лестницы, определить графически наибольшее расстояние BP, при котором лестница остается в покое. Угол трения для стены и пола равен 15°.
РЕШЕНИЕ
5.30 Тяжелый однородный стержень AB лежит на двух опорах C и D, расстояние между которыми CD=a, AC=b. Коэффициент трения стержня об опоры равен f. Угол наклона стержня к горизонту равен α. Какому условию должна удовлетворять длина стержня 2l для того, чтобы стержень находился в равновесии, если толщиной его можно пренебречь?
РЕШЕНИЕ
5.31 Однородный брус опирается в точке A на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке B веревкой. Коэффициент трения бруса о пол равен f. Угол α, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле φ наклона веревки к горизонту брус начнет скользить?
РЕШЕНИЕ
5.32 Однородный стержень своими концами A и B может скользить по негладкой окружности радиуса a. Расстояние OC стержня до центра O окружности, расположенной в вертикальной плоскости, равно b. Коэффициент трения между стержнем и окружностью равен f. Определить для положений равновесия стержня угол φ, составляемый прямой OC с вертикальным диаметром окружности.
РЕШЕНИЕ
5.33 Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d=50 см, вращающихся в противоположные стороны, указанные стрелками на рисунке; расстояние между валами a=0,5 см. Какой толщины b листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов f=0,1? Для работы стана необходимо, чтобы лист захватывался вращающимися валами, т.е. чтобы равнодействующая приложенных к листу нормальных реакций и сил трения в точках A и B была направлена по горизонтали вправо.
РЕШЕНИЕ
5.34 Блок радиуса R снабжен двумя шипами радиуса r, симметрично расположенными относительно его средней плоскости. Шипы опираются на две цилиндрические поверхности AB с горизонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому подвешены грузы P и P1, причем P > P1. Определить наименьшую величину груза P1, при которой блок будет находиться в равновесии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндрические поверхности AB равен f, а вес блока с шипами Q. Указанное на рисунке положение системы не может быть положением равновесия; последнее требуется предварительно найти.
РЕШЕНИЕ
5.35 Для опускания грузов употребляется ворот с тормозом, изображенный на рисунке. С барабаном, на который намотана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое тормозят, надавливая на конец A рычага AB, соединенного цепью CD с концом D тормозного рычага ED. Диаметр колеса a=50 см; диаметр барабана b=20 см; ED=120 см; FE=60 см; AB=1 м; BC=10 см. Определить силу P, уравновешивающую груз Q=8 кН, подвешенный к подвижному блоку, если коэффициент трения дерева о сталь f=0,4; размерами колодки F пренебрегаем.
РЕШЕНИЕ
5.36 На гранях AB и BC призмы ABC помещены два одинаковых тела G и H веса P, связанные нитью, перекинутой через блок в точке B. Коэффициент трения между телами и гранями призмы равен f. Углы BAC и BCA равны 45°. Определить, пренебрегая трением на блоке, величину угла α наклона грани AC к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться.
РЕШЕНИЕ
5.37 Глубина заложения опор железнодорожного моста, перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давлением грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт — мелкозернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м2, вес 1 м3 песка, насыщенного водой, равен 18 кН, вес 1 м3 воды равен 10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в котором заключена каменная опора, 0,18. При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление на 1 м2 равно 10(6+0,9h) кН.
РЕШЕНИЕ
5.38 Определить угол α наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса r=50 мм равномерно катится по плоскости. Материал трущихся тел — сталь, коэффициент трения качения k=0,05 мм. Ввиду малости угла α можно принять α=tg α.
РЕШЕНИЕ
5.39 Определить силу P, необходимую для равномерного качения цилиндрического катка диаметра 60 см и веса 300 Н по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения качения k=0,5 см, а угол, составляемый силой P с горизонтальной плоскостью, равен α=30°.
РЕШЕНИЕ
5.40 На горизонтальной плоскости лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент трения скольжения шара о плоскость f, коэффициент трения качения k. При каких условиях горизонтальная сила P, приложенная в центре шара, сообщает ему равномерное качение?
РЕШЕНИЕ
5.41 При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рассматривается в равновесии под действием веса судна G, силы поддержания воды D, упора винтов R, а также сил, действующих со стороны льда в точке форштевня K: нормального давления N и максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня φ=30°, коэффициент трения f=0,2. Известны значения G=6000 кН, R=200 кН, a=20 м, b=2 м, e=1 м. Пренебрегая дифферентом судна, определить вертикальное давление судна на ледяной покров P, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести судна l.
РЕШЕНИЕ
5.42 Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной направляющей AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз P. Пренебрегая размером блока D, определить: 1) условие, при котором возможна зона застоя (геометрическое место возможных положений равновесия); 2) условие, при котором верхняя граница зоны застоя находится в положительной части оси y; 3) ординаты границ зоны застоя при Q=5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см; 4) ординаты границ зоны застоя при Q=1,5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см.
РЕШЕНИЕ