§ 6. Четырехугольники.
Погорелов 8 класс ГДЗ
Погорелов 8 класс ГДЗ
1. На рисунках 114-116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником?
РЕШЕНИЕ
2. Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
РЕШЕНИЕ
3. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.
РЕШЕНИЕ
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
5. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
РЕШЕНИЕ
7. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах BC и AD отрезки ВЕ = 2м и AF = 2,8 м. Найдите стороны BC и AD.
РЕШЕНИЕ
8. У параллелограмма ABCD AB = 10 см, BC = 15 см. Чему равны стороны AD и CD? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
9. У параллелограмма ABCD ∠A = 30°. Чему равны углы B, C, D? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
10. Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
РЕШЕНИЕ
11. Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
РЕШЕНИЕ
12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
РЕШЕНИЕ
13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°?
РЕШЕНИЕ
14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
РЕШЕНИЕ
16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
РЕШЕНИЕ
17. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны BC, а F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм.
РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
РЕШЕНИЕ
19. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке E. Чему равны отрезки BE и EC, если AB = 9 см, AD = 15 см?
РЕШЕНИЕ
20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4. а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
РЕШЕНИЕ
21. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону АD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
РЕШЕНИЕ
22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
РЕШЕНИЕ
23. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
27. Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты?
РЕШЕНИЕ
28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
РЕШЕНИЕ
29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
РЕШЕНИЕ
31. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5: 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
РЕШЕНИЕ
34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
РЕШЕНИЕ
35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба.
РЕШЕНИЕ
36. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
РЕШЕНИЕ
37. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.
РЕШЕНИЕ
38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
РЕШЕНИЕ
39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
РЕШЕНИЕ
41. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
РЕШЕНИЕ
42. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 есть квадрат.
РЕШЕНИЕ
43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
РЕШЕНИЕ
44. Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
РЕШЕНИЕ
45. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
РЕШЕНИЕ
46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
РЕШЕНИЕ
47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
РЕШЕНИЕ
48. Разделите данный отрезок AB на 3 равных части.
РЕШЕНИЕ
49. Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3)6.
РЕШЕНИЕ
50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
РЕШЕНИЕ
51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
РЕШЕНИЕ
52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
РЕШЕНИЕ
53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
РЕШЕНИЕ
54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
РЕШЕНИЕ
55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
РЕШЕНИЕ
57. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
РЕШЕНИЕ
60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
РЕШЕНИЕ
61. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°?
РЕШЕНИЕ
62. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
РЕШЕНИЕ
63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ
64. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
РЕШЕНИЕ
65. По одну сторону от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
РЕШЕНИЕ
66. По разные стороны от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
РЕШЕНИЕ
67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
РЕШЕНИЕ
68. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
РЕШЕНИЕ
69. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ
70. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины a и b (а > b). Найдите среднюю линию трапеции.
РЕШЕНИЕ
71. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
РЕШЕНИЕ
72. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
РЕШЕНИЕ
73. Даны отрезки a, b, c, d, e. Постройте отрезок x=abc/de
РЕШЕНИЕ
74. 1) В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1, которые пересекаются в точке M. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
РЕШЕНИЕ
3. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.
РЕШЕНИЕ
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
5. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
РЕШЕНИЕ
7. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах BC и AD отрезки ВЕ = 2м и AF = 2,8 м. Найдите стороны BC и AD.
РЕШЕНИЕ
8. У параллелограмма ABCD AB = 10 см, BC = 15 см. Чему равны стороны AD и CD? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
9. У параллелограмма ABCD ∠A = 30°. Чему равны углы B, C, D? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
10. Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
РЕШЕНИЕ
11. Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
РЕШЕНИЕ
12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
РЕШЕНИЕ
13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°?
РЕШЕНИЕ
14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
РЕШЕНИЕ
16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
РЕШЕНИЕ
17. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны BC, а F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм.
РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
РЕШЕНИЕ
19. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке E. Чему равны отрезки BE и EC, если AB = 9 см, AD = 15 см?
РЕШЕНИЕ
20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4. а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
РЕШЕНИЕ
21. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону АD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
РЕШЕНИЕ
22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
РЕШЕНИЕ
23. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
РЕШЕНИЕ
27. Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты?
РЕШЕНИЕ
28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
РЕШЕНИЕ
29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
РЕШЕНИЕ
31. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5: 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
РЕШЕНИЕ
34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
РЕШЕНИЕ
35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба.
РЕШЕНИЕ
36. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
РЕШЕНИЕ
37. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.
РЕШЕНИЕ
38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
РЕШЕНИЕ
39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
РЕШЕНИЕ
41. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
РЕШЕНИЕ
42. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 есть квадрат.
РЕШЕНИЕ
43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
РЕШЕНИЕ
44. Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
РЕШЕНИЕ
45. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
РЕШЕНИЕ
46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
РЕШЕНИЕ
47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
РЕШЕНИЕ
48. Разделите данный отрезок AB на 3 равных части.
РЕШЕНИЕ
49. Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3)6.
РЕШЕНИЕ
50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
РЕШЕНИЕ
51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
РЕШЕНИЕ
52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
РЕШЕНИЕ
53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
РЕШЕНИЕ
54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
РЕШЕНИЕ
55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
РЕШЕНИЕ
57. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
РЕШЕНИЕ
60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
РЕШЕНИЕ
61. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°?
РЕШЕНИЕ
62. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
РЕШЕНИЕ
63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ
64. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
РЕШЕНИЕ
65. По одну сторону от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
РЕШЕНИЕ
66. По разные стороны от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
РЕШЕНИЕ
67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
РЕШЕНИЕ
68. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
РЕШЕНИЕ
69. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ
70. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины a и b (а > b). Найдите среднюю линию трапеции.
РЕШЕНИЕ
71. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
РЕШЕНИЕ
72. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
РЕШЕНИЕ
73. Даны отрезки a, b, c, d, e. Постройте отрезок x=abc/de
РЕШЕНИЕ
74. 1) В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1, которые пересекаются в точке M. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
РЕШЕНИЕ