§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Погорелов 7 класс, 2002 г
Погорелов 7 класс, 2002 г
1. 1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой. 2) Проведите две пересекающиеся прямые а и b. Отметьте точку С пересечения прямых: точку А на прямой а, не лежащую на прямой b; точку D, не лежащую ни на одной из прямых a и b.
РЕШЕНИЕ
2. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность построения
РЕШЕНИЕ
3. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения
РЕШЕНИЕ
4. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки
РЕШЕНИЕ
5. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С
РЕШЕНИЕ
6. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ
РЕШЕНИЕ
7. Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если 1) СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, MD = 5,8 м
РЕШЕНИЕ
9. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 4,3 см AC = 7,5 см, BC = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками B и C? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими
РЕШЕНИЕ
10. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
11. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
13. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
14. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача
РЕШЕНИЕ
15. На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; точка С — середина отрезка АВ; длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3
РЕШЕНИЕ
16. Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее
РЕШЕНИЕ
17. Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
18. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
20. Даны прямая a и точки А, X, У, Z на этой прямой. Известно, что точки X, У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
21. Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ
РЕШЕНИЕ
22. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых AB, АС, CA, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
24. Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если 1) ∠(ас) = 35°, ∠(ad) = 75°; 2) ∠(ас) = 57°, ∠(ad) = 62°; 3) ∠(ac)=94°, ∠(ad) = 85°.
РЕШЕНИЕ
25. Может ли луч С проходить между сторонами угла (ab), если 1) ∠(ac) = 30°, ∠(cb) = 80°, ∠(ab) = 50°; 2) ∠(ac) = = 100°, ∠(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (ab)?
РЕШЕНИЕ
26. Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч c. Найдите углы (ос) и (bc), если 1) угол (ас) на 30° больше угла (bс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (bс); 3) луч c делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (bс) относятся как 2:3.
РЕШЕНИЕ
29. Существует ли на полупрямой AB такая точка X, отличная от В, что AX = AB? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
30. На луче AB отложен отрезок AC, меньший отрезка AB. Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
31. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см
РЕШЕНИЕ
33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см
РЕШЕНИЕ
34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°
РЕШЕНИЕ
36. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = б см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
37. Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°. Найдите углы треугольника АВС
РЕШЕНИЕ
38. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
39. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника
РЕШЕНИЕ
40. Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD
РЕШЕНИЕ
41. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
42. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных
РЕШЕНИЕ
43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему
РЕШЕНИЕ
44. Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой
РЕШЕНИЕ
45. Даны четыре прямые а, b, с и d. Известно, что прямые а, b, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку
РЕШЕНИЕ
46. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются
РЕШЕНИЕ
47. Дан треугольник ABC. На стороне AC взята точка B1 а на стороне BC — точка A1. Докажите, что отрезки AA1 и BB1 пересекаются
РЕШЕНИЕ
48. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD
РЕШЕНИЕ
49. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок AB с концами на сторонах угла, то он пересекает 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла
РЕШЕНИЕ
50. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке
РЕШЕНИЕ
51. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой CA отложен отрезок СВ, больший отрезка CA. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность построения
РЕШЕНИЕ
3. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения
РЕШЕНИЕ
4. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки
РЕШЕНИЕ
5. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С
РЕШЕНИЕ
6. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ
РЕШЕНИЕ
7. Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если 1) СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, MD = 5,8 м
РЕШЕНИЕ
9. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 4,3 см AC = 7,5 см, BC = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками B и C? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими
РЕШЕНИЕ
10. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
11. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
13. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
14. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача
РЕШЕНИЕ
15. На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; точка С — середина отрезка АВ; длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3
РЕШЕНИЕ
16. Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее
РЕШЕНИЕ
17. Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
18. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
20. Даны прямая a и точки А, X, У, Z на этой прямой. Известно, что точки X, У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
21. Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ
РЕШЕНИЕ
22. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых AB, АС, CA, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
24. Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если 1) ∠(ас) = 35°, ∠(ad) = 75°; 2) ∠(ас) = 57°, ∠(ad) = 62°; 3) ∠(ac)=94°, ∠(ad) = 85°.
РЕШЕНИЕ
25. Может ли луч С проходить между сторонами угла (ab), если 1) ∠(ac) = 30°, ∠(cb) = 80°, ∠(ab) = 50°; 2) ∠(ac) = = 100°, ∠(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (ab)?
РЕШЕНИЕ
26. Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч c. Найдите углы (ос) и (bc), если 1) угол (ас) на 30° больше угла (bс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (bс); 3) луч c делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (bс) относятся как 2:3.
РЕШЕНИЕ
29. Существует ли на полупрямой AB такая точка X, отличная от В, что AX = AB? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
30. На луче AB отложен отрезок AC, меньший отрезка AB. Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
31. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см
РЕШЕНИЕ
33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см
РЕШЕНИЕ
34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°
РЕШЕНИЕ
36. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = б см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
37. Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°. Найдите углы треугольника АВС
РЕШЕНИЕ
38. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
39. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника
РЕШЕНИЕ
40. Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD
РЕШЕНИЕ
41. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
42. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных
РЕШЕНИЕ
43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему
РЕШЕНИЕ
44. Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой
РЕШЕНИЕ
45. Даны четыре прямые а, b, с и d. Известно, что прямые а, b, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку
РЕШЕНИЕ
46. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются
РЕШЕНИЕ
47. Дан треугольник ABC. На стороне AC взята точка B1 а на стороне BC — точка A1. Докажите, что отрезки AA1 и BB1 пересекаются
РЕШЕНИЕ
48. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD
РЕШЕНИЕ
49. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок AB с концами на сторонах угла, то он пересекает 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла
РЕШЕНИЕ
50. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке
РЕШЕНИЕ
51. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой CA отложен отрезок СВ, больший отрезка CA. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС
РЕШЕНИЕ