§ 14. Площади фигур.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
РЕШЕНИЕ
2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
РЕШЕНИЕ
3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали a.
РЕШЕНИЕ
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
РЕШЕНИЕ
5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
РЕШЕНИЕ
6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
РЕШЕНИЕ
7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
РЕШЕНИЕ
8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
РЕШЕНИЕ
9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
РЕШЕНИЕ
12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
РЕШЕНИЕ
13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
РЕШЕНИЕ
14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
РЕШЕНИЕ
15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
РЕШЕНИЕ
16. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
РЕШЕНИЕ
17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
РЕШЕНИЕ
18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой a.
РЕШЕНИЕ
19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.: a:b:c = 1/ha : 1/hb : 1/hc
РЕШЕНИЕ
21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a.
РЕШЕНИЕ
22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R.
РЕШЕНИЕ
23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
РЕШЕНИЕ
24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
РЕШЕНИЕ
25. У треугольника ABС AC = a, BC = b. При каком угле C площадь треугольника будет наибольшей?
РЕШЕНИЕ
26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
РЕШЕНИЕ
27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.
РЕШЕНИЕ
28. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам α и β.
РЕШЕНИЕ
29. Выведите формулу Герона для площади треугольника: S = p(p-a)(p-b)(p-c) где a, b, с — длины сторон треугольника, p — полупериметр
РЕШЕНИЕ
30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) 25/6, 29/6, 6; 5) 13, 37 12/13, 47 1/13; 6) 2 1/12, 3 44/75, 1,83;
РЕШЕНИЕ
31. Стороны треугольника a, b, c. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону c.
РЕШЕНИЕ
32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
РЕШЕНИЕ
33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
РЕШЕНИЕ
34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
РЕШЕНИЕ
35. Найдите высоту треугольника со сторонами 2 1/12, 3 44/75, 1,83, проведенную к стороне 2 1/12
РЕШЕНИЕ
36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту треугольника со сторонами 3) 25/6, 29/6, 6; 4) 13, 37 12/13, 47 1/13
РЕШЕНИЕ
37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
РЕШЕНИЕ
38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ
39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника: R = abc/4S, r = 2s/(a + b + c), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь
РЕШЕНИЕ
43. Найдите радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7
РЕШЕНИЕ
44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ
45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b и вписанной в него.
РЕШЕНИЕ
46. Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
РЕШЕНИЕ
47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
РЕШЕНИЕ
48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
РЕШЕНИЕ
49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
РЕШЕНИЕ
50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?
РЕШЕНИЕ
51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна A.
РЕШЕНИЕ
52. Периметры правильных n-угольников относятся как a:b. Как относятся их площади?
РЕШЕНИЕ
53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
РЕШЕНИЕ
54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) а и b, а > b.
РЕШЕНИЕ
55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз?
РЕШЕНИЕ
56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника
РЕШЕНИЕ
57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
РЕШЕНИЕ
58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
РЕШЕНИЕ
59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
РЕШЕНИЕ
60. Дана окружность радиуса R. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
РЕШЕНИЕ
61. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
РЕШЕНИЕ
62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
РЕШЕНИЕ
3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали a.
РЕШЕНИЕ
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
РЕШЕНИЕ
5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
РЕШЕНИЕ
6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
РЕШЕНИЕ
7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
РЕШЕНИЕ
8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
РЕШЕНИЕ
9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
РЕШЕНИЕ
10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
РЕШЕНИЕ
11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
РЕШЕНИЕ
12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
РЕШЕНИЕ
13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
РЕШЕНИЕ
14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
РЕШЕНИЕ
15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
РЕШЕНИЕ
16. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
РЕШЕНИЕ
17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
РЕШЕНИЕ
18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой a.
РЕШЕНИЕ
19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.: a:b:c = 1/ha : 1/hb : 1/hc
РЕШЕНИЕ
21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a.
РЕШЕНИЕ
22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R.
РЕШЕНИЕ
23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
РЕШЕНИЕ
24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
РЕШЕНИЕ
25. У треугольника ABС AC = a, BC = b. При каком угле C площадь треугольника будет наибольшей?
РЕШЕНИЕ
26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
РЕШЕНИЕ
27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.
РЕШЕНИЕ
28. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам α и β.
РЕШЕНИЕ
29. Выведите формулу Герона для площади треугольника: S = p(p-a)(p-b)(p-c) где a, b, с — длины сторон треугольника, p — полупериметр
РЕШЕНИЕ
30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) 25/6, 29/6, 6; 5) 13, 37 12/13, 47 1/13; 6) 2 1/12, 3 44/75, 1,83;
РЕШЕНИЕ
31. Стороны треугольника a, b, c. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону c.
РЕШЕНИЕ
32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
РЕШЕНИЕ
33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
РЕШЕНИЕ
34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
РЕШЕНИЕ
35. Найдите высоту треугольника со сторонами 2 1/12, 3 44/75, 1,83, проведенную к стороне 2 1/12
РЕШЕНИЕ
36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту треугольника со сторонами 3) 25/6, 29/6, 6; 4) 13, 37 12/13, 47 1/13
РЕШЕНИЕ
37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
РЕШЕНИЕ
38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ
39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
РЕШЕНИЕ
41. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника: R = abc/4S, r = 2s/(a + b + c), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь
РЕШЕНИЕ
43. Найдите радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7
РЕШЕНИЕ
44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ
45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b и вписанной в него.
РЕШЕНИЕ
46. Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
РЕШЕНИЕ
47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
РЕШЕНИЕ
48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
РЕШЕНИЕ
49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
РЕШЕНИЕ
50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?
РЕШЕНИЕ
51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна A.
РЕШЕНИЕ
52. Периметры правильных n-угольников относятся как a:b. Как относятся их площади?
РЕШЕНИЕ
53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
РЕШЕНИЕ
54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) а и b, а > b.
РЕШЕНИЕ
55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз?
РЕШЕНИЕ
56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника
РЕШЕНИЕ
57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
РЕШЕНИЕ
58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
РЕШЕНИЕ
59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
РЕШЕНИЕ
60. Дана окружность радиуса R. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
РЕШЕНИЕ
61. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
РЕШЕНИЕ
62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R
РЕШЕНИЕ