§12. Решение треугольников.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
1. Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
РЕШЕНИЕ
2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
РЕШЕНИЕ
3. Стороны треугольника равны a b c. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне c, острый. Если a2 + b2 < c2, то угол, противолежащий стороне c, тупой.
РЕШЕНИЕ
4. Даны диагонали параллелограмма c и d и угол между ними α. Найдите стороны параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
5. Даны стороны параллелограмма a и b и один из углов α. Найдите диагонали параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
РЕШЕНИЕ
8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.
РЕШЕНИЕ
9. Найдите медианы треугольника в задаче № 1
РЕШЕНИЕ
10. Найдите биссектрисы треугольника в задаче № 1.
РЕШЕНИЕ
11. Как изменяется сторона AB треугольника ABC, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC остаются без изменений?
РЕШЕНИЕ
12. У треугольника ABC AB = 15 см, AC = 10 см. Может ли sin b = 3/4
РЕШЕНИЕ
14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
РЕШЕНИЕ
15. Объясните, как найти расстояние от точки A до недоступной точки B, зная расстояние AC и углы а и b.
РЕШЕНИЕ
16. Объясните, как найти высоту x здания по углам а и b и расстоянию a.
РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
РЕШЕНИЕ
19. У треугольника ABC стороны AB = 5,1 м, BC = 6,2 м, AC = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
РЕШЕНИЕ
20. Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
РЕШЕНИЕ
21. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, то BX < AB.
РЕШЕНИЕ
22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < AB.
РЕШЕНИЕ
23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC.
РЕШЕНИЕ
24. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD.
РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
РЕШЕНИЕ
26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) a=5, β=30 γ=45 2)a=20, α=75 β=60 3)a=35, β=40 γ=120 4)b=12, α=36 β=25 5)c=14, α=64 β=48
РЕШЕНИЕ
27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) a = 12, b = 8, γ = 60°; 2) a=7,b = 23,γ = 130°; 3) b= 9, c = 17,α = 95°; 4) b= 14,c = 10, α = 145°; 5) a = 32, c = 23, β = 152°; 6) a = 24, c = 18, β = 15°.
РЕШЕНИЕ
28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) a= 12,b =5, α= 120°; 2) a = 27, b = 9, α = 138°; 3) a = 34, b= 12, α = 164°; 4) a = 2, b = 4, α = 60°; 5) a = 6, b = 8, α = 30°.
РЕШЕНИЕ
29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) a = 2, b = 3, c = 4; 2) a = 7, b = 2, c = 8; 3) a = 4, b = 5, c = 7; 4) a= 15,b = 24,c = 18; 5)a = 23, b = 17, c = 39; 6) a = 55, b = 21, c = 38.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
РЕШЕНИЕ
3. Стороны треугольника равны a b c. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне c, острый. Если a2 + b2 < c2, то угол, противолежащий стороне c, тупой.
РЕШЕНИЕ
4. Даны диагонали параллелограмма c и d и угол между ними α. Найдите стороны параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
5. Даны стороны параллелограмма a и b и один из углов α. Найдите диагонали параллелограмма.
РЕШЕНИЕ
6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
РЕШЕНИЕ
8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.
РЕШЕНИЕ
9. Найдите медианы треугольника в задаче № 1
РЕШЕНИЕ
10. Найдите биссектрисы треугольника в задаче № 1.
РЕШЕНИЕ
11. Как изменяется сторона AB треугольника ABC, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC остаются без изменений?
РЕШЕНИЕ
12. У треугольника ABC AB = 15 см, AC = 10 см. Может ли sin b = 3/4
РЕШЕНИЕ
14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
РЕШЕНИЕ
15. Объясните, как найти расстояние от точки A до недоступной точки B, зная расстояние AC и углы а и b.
РЕШЕНИЕ
16. Объясните, как найти высоту x здания по углам а и b и расстоянию a.
РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
РЕШЕНИЕ
19. У треугольника ABC стороны AB = 5,1 м, BC = 6,2 м, AC = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
РЕШЕНИЕ
20. Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
РЕШЕНИЕ
21. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, то BX < AB.
РЕШЕНИЕ
22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < AB.
РЕШЕНИЕ
23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC.
РЕШЕНИЕ
24. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD.
РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
РЕШЕНИЕ
26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) a=5, β=30 γ=45 2)a=20, α=75 β=60 3)a=35, β=40 γ=120 4)b=12, α=36 β=25 5)c=14, α=64 β=48
РЕШЕНИЕ
27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) a = 12, b = 8, γ = 60°; 2) a=7,b = 23,γ = 130°; 3) b= 9, c = 17,α = 95°; 4) b= 14,c = 10, α = 145°; 5) a = 32, c = 23, β = 152°; 6) a = 24, c = 18, β = 15°.
РЕШЕНИЕ
28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) a= 12,b =5, α= 120°; 2) a = 27, b = 9, α = 138°; 3) a = 34, b= 12, α = 164°; 4) a = 2, b = 4, α = 60°; 5) a = 6, b = 8, α = 30°.
РЕШЕНИЕ
29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) a = 2, b = 3, c = 4; 2) a = 7, b = 2, c = 8; 3) a = 4, b = 5, c = 7; 4) a= 15,b = 24,c = 18; 5)a = 23, b = 17, c = 39; 6) a = 55, b = 21, c = 38.
РЕШЕНИЕ