§11. Подобие фигур.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
Задачи из книги: Погорелов А.В. 9 класс, 2001 г.
1. При гомотетии точка X переходит в точку X , а точка Y — в точку Y . Как найти центр гомотетии, если точки X, X , Y, Y не лежат на одной прямой?
РЕШЕНИЕ
2. При гомотетии точка X переходит в точку X . Постройте центр гомотетии если коэффициент гомотетии равен 2.
РЕШЕНИЕ
3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
РЕШЕНИЕ
5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
РЕШЕНИЕ
6. У подобных треугольников ABC и A1B1C1 ∠А = 30°, AB = 1 м, BC = 2 м, B1C1 = 3 м. Чему равны угол A1 и сторона A1B1?
РЕШЕНИЕ
7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
РЕШЕНИЕ
8. Даны угол и внутри его точка A. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку A.
РЕШЕНИЕ
9. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
РЕШЕНИЕ
10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
РЕШЕНИЕ
11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
РЕШЕНИЕ
12. У треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, ∠В = ∠B1 AB = 5 м, BC = 7 м, A1B1 = 10 м, A1C1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
РЕШЕНИЕ
13. Решите задачу 12 при условии что AB = 16 см, BC = 20 см, A1B1 = 12 см, AC - A1C1 = 6 см.
РЕШЕНИЕ
14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
РЕШЕНИЕ
15. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1. Докажите, что ΔABC ~ ΔA1B1С.
РЕШЕНИЕ
16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
РЕШЕНИЕ
17. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит его сторону AC в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
РЕШЕНИЕ
19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
РЕШЕНИЕ
20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:1) AC = 20 см, AB = 17 см и BD = 11,9 см; 2) AC = 18 дм, AB = 15 дм и AD = 10 дм.
РЕШЕНИЕ
21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Докажите подобие треугольников DCT и DAE.
РЕШЕНИЕ
22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
РЕШЕНИЕ
23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
РЕШЕНИЕ
24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 м и 27 м.
РЕШЕНИЕ
25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. При гомотетии точка X переходит в точку X . Постройте центр гомотетии если коэффициент гомотетии равен 2.
РЕШЕНИЕ
3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
РЕШЕНИЕ
5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
РЕШЕНИЕ
6. У подобных треугольников ABC и A1B1C1 ∠А = 30°, AB = 1 м, BC = 2 м, B1C1 = 3 м. Чему равны угол A1 и сторона A1B1?
РЕШЕНИЕ
7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
РЕШЕНИЕ
8. Даны угол и внутри его точка A. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку A.
РЕШЕНИЕ
9. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
РЕШЕНИЕ
10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
РЕШЕНИЕ
11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
РЕШЕНИЕ
12. У треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, ∠В = ∠B1 AB = 5 м, BC = 7 м, A1B1 = 10 м, A1C1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
РЕШЕНИЕ
13. Решите задачу 12 при условии что AB = 16 см, BC = 20 см, A1B1 = 12 см, AC - A1C1 = 6 см.
РЕШЕНИЕ
14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
РЕШЕНИЕ
15. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1. Докажите, что ΔABC ~ ΔA1B1С.
РЕШЕНИЕ
16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
РЕШЕНИЕ
17. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит его сторону AC в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
РЕШЕНИЕ
19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
РЕШЕНИЕ
20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:1) AC = 20 см, AB = 17 см и BD = 11,9 см; 2) AC = 18 дм, AB = 15 дм и AD = 10 дм.
РЕШЕНИЕ
21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Докажите подобие треугольников DCT и DAE.
РЕШЕНИЕ
22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
РЕШЕНИЕ
23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
РЕШЕНИЕ
24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 м и 27 м.
РЕШЕНИЕ
25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
РЕШЕНИЕ
26 . Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найдите стороны треугольника AED, если AB = 5 см, BC =10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
РЕШЕНИЕ
27 . Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
РЕШЕНИЕ
28 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите что прямая EF делит основания трапеции пополам
РЕШЕНИЕ
29 . У равнобедренного треугольника ABC с основанием AC и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD. 1) Докажите подобие треугольников ABC и CAD. 2) Найдите основание треугольника ABC, если его боковая сторона равна a. AB = BC = a.
РЕШЕНИЕ
30 . Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны. Стороны треугольника ABC, прилежащие к углу B, в 2,5 раза больше сторон треугольника A1B1C1, прилежащих к углу B1. Найдите AC и A1C1, если их сумма равна 4,2 м.
РЕШЕНИЕ
32 . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ
33 . Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ
34 . Подобны ли два равносторонних треугольника?
РЕШЕНИЕ
35 . Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, BC = 2 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 15 см, B1C1 =20 см; 2) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,5 м; A1B1 = 8 дм, A1C1 = 16 дм, B1C1 =12 дм; 3) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,25 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 20 см, B1C1 =30 см;
РЕШЕНИЕ
37 . Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
РЕШЕНИЕ
38 . Периметр одного треугольника составляет 11/13 периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
РЕШЕНИЕ
39 . Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°?
РЕШЕНИЕ
40 . Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
РЕШЕНИЕ
41 . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
РЕШЕНИЕ
42 . Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
РЕШЕНИЕ
43 . Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
РЕШЕНИЕ
44 . Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
РЕШЕНИЕ
45 . В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина E находится на стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = с и AC = b.
РЕШЕНИЕ
46 . Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине С пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
РЕШЕНИЕ
47 . Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
РЕШЕНИЕ
48 . Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
РЕШЕНИЕ
49. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равна хорда AC, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
РЕШЕНИЕ
50. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равен угол ABC, если хорда AC равна радиусу окружности? (Два случая.)
РЕШЕНИЕ
51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
27 . Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
РЕШЕНИЕ
28 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите что прямая EF делит основания трапеции пополам
РЕШЕНИЕ
29 . У равнобедренного треугольника ABC с основанием AC и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD. 1) Докажите подобие треугольников ABC и CAD. 2) Найдите основание треугольника ABC, если его боковая сторона равна a. AB = BC = a.
РЕШЕНИЕ
30 . Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны. Стороны треугольника ABC, прилежащие к углу B, в 2,5 раза больше сторон треугольника A1B1C1, прилежащих к углу B1. Найдите AC и A1C1, если их сумма равна 4,2 м.
РЕШЕНИЕ
32 . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ
33 . Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ
34 . Подобны ли два равносторонних треугольника?
РЕШЕНИЕ
35 . Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, BC = 2 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 15 см, B1C1 =20 см; 2) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,5 м; A1B1 = 8 дм, A1C1 = 16 дм, B1C1 =12 дм; 3) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,25 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 20 см, B1C1 =30 см;
РЕШЕНИЕ
37 . Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
РЕШЕНИЕ
38 . Периметр одного треугольника составляет 11/13 периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
РЕШЕНИЕ
39 . Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°?
РЕШЕНИЕ
40 . Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
РЕШЕНИЕ
41 . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
РЕШЕНИЕ
42 . Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
РЕШЕНИЕ
43 . Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
РЕШЕНИЕ
44 . Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
РЕШЕНИЕ
45 . В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина E находится на стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = с и AC = b.
РЕШЕНИЕ
46 . Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине С пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
РЕШЕНИЕ
47 . Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
РЕШЕНИЕ
48 . Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
РЕШЕНИЕ
49. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равна хорда AC, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
РЕШЕНИЕ
50. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равен угол ABC, если хорда AC равна радиусу окружности? (Два случая.)
РЕШЕНИЕ
51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
РЕШЕНИЕ
52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.
РЕШЕНИЕ
53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
РЕШЕНИЕ
54. На окружности отмечены четыре точки A, B, C, D. Чему равен угол ADC, если угол ABC равен a? (Два случая.)
РЕШЕНИЕ
55. Хорды окружности AD и BC пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
РЕШЕНИЕ
56. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
РЕШЕНИЕ
57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках.
РЕШЕНИЕ
59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
РЕШЕНИЕ
60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
РЕШЕНИЕ
61. Из точки C окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что CD2 = AD.BD. Пусть AB — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
РЕШЕНИЕ
62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС*BC = CD2.
РЕШЕНИЕ
63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
РЕШЕНИЕ
64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
РЕШЕНИЕ
54. На окружности отмечены четыре точки A, B, C, D. Чему равен угол ADC, если угол ABC равен a? (Два случая.)
РЕШЕНИЕ
55. Хорды окружности AD и BC пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
РЕШЕНИЕ
56. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
РЕШЕНИЕ
57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках.
РЕШЕНИЕ
59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
РЕШЕНИЕ
60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
РЕШЕНИЕ
61. Из точки C окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что CD2 = AD.BD. Пусть AB — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
РЕШЕНИЕ
62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС*BC = CD2.
РЕШЕНИЕ
63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
РЕШЕНИЕ
64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
РЕШЕНИЕ