Элементы квантовой механики
§ 45. Волновые свойства микрочастиц
Условия задач и ссылки на решения по теме:
1 Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) U1=51 В; 2) U2=510 кВ.
РЕШЕНИЕ
2 На узкую щель шириной a=1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость v=3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние x между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L=10 см от щели
РЕШЕНИЕ
3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.
РЕШЕНИЕ
4 Кинетическая энергия T электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома
РЕШЕНИЕ
5 Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину Δλ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 c, а длину волны λ излучения — равной 600 нм
РЕШЕНИЕ
45.1 Определить длину волны де Бройля λ, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость v=1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона.
РЕШЕНИЕ
45.2 Электрон движется со скоростью v=200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости.
РЕШЕНИЕ
45.3 Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0,1 нм?
РЕШЕНИЕ
45.4 Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T=1 кэВ.
РЕШЕНИЕ
45.5 Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.
РЕШЕНИЕ
45.6 Найти длину волны де Бройля λ для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
РЕШЕНИЕ
45.7 Определить длину волны де Бройля λ электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.
РЕШЕНИЕ
45.8 С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна его комптоновской длине волны λC?
РЕШЕНИЕ
45.9 Определить длину волны де Бройля λ электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны λ=3 нм.
РЕШЕНИЕ
45.10 Электрон движется по окружности радиусом r=0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B=8 мТл. Определить длину волны де Бройля λ электрона.
РЕШЕНИЕ
45.11 На грань некоторого кристалла под углом α=60 к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
РЕШЕНИЕ
45.12 Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v=1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной a= 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l=50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами.
РЕШЕНИЕ
45.13 Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U=30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположенной за листком на расстоянии l=20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пятна и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружности r=3,4 мм. Определить: 1) угол φ отражения электронов от микрокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля λ электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота.
РЕШЕНИЕ
45.14 Прибор зарегистрировал скорость распространения электромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазовую или групповую?
РЕШЕНИЕ
45.15 Можно ли измерить фазовую скорость?
РЕШЕНИЕ
45.16 Волновой пакет образован двумя плоскими монохроматическими волнами: e1=cos(1002t—Зх); e2(x, t)=cos(1003t—3,01x). Определить фазовые скорости v1 и v2 каждой волны и групповую скорость и волнового пакета .
РЕШЕНИЕ
45.17 Известно, что фазовая скорость v=ω/k. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.18 Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это постулатам теории относительности?
РЕШЕНИЕ
45.19 Зная общее выражение групповой скорости, найти групповую скорость u волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.2 Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.21 Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля?
РЕШЕНИЕ
45.22 Определить неточность Δx в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью v=1,5*106 м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
РЕШЕНИЕ
45.23 Электрон с кинетической энергией T=15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d=1 мкм. Оценить относительную неточность Δv, с которой может быть определена скорость электрона.
РЕШЕНИЕ
45.24 Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δx ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%?
РЕШЕНИЕ
45.25 Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Δp/p импульса этой частицы.
РЕШЕНИЕ
45.26 Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥h, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
РЕШЕНИЕ
45.27 Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥ħ, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l≈0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
45.28 Приняв, что минимальная энергия E нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.
РЕШЕНИЕ
45.29 Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм.
РЕШЕНИЕ
45.3 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетнческнй пучок электронов (Т= 10 эВ) падает на щель шириной a. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Δх=а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса Δp/p электрона в двух случаях: 1) a=10 нм; 2) a=0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
45.31 Пылинки массой m=10-12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2*10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
45.32 Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей ΔEΔt≥h?
РЕШЕНИЕ
45.33 Используя соотношение неопределенности ΔEΔt≥h, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 10-8 с).
РЕШЕНИЕ
45.34 Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (т~10-8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ=0,6 мкм).
РЕШЕНИЕ
45.35 В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия E электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (р2=2 mЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами /. Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2 На узкую щель шириной a=1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость v=3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние x между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L=10 см от щели
РЕШЕНИЕ
3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.
РЕШЕНИЕ
4 Кинетическая энергия T электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома
РЕШЕНИЕ
5 Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину Δλ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 c, а длину волны λ излучения — равной 600 нм
РЕШЕНИЕ
45.1 Определить длину волны де Бройля λ, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость v=1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона.
РЕШЕНИЕ
45.2 Электрон движется со скоростью v=200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости.
РЕШЕНИЕ
45.3 Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0,1 нм?
РЕШЕНИЕ
45.4 Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T=1 кэВ.
РЕШЕНИЕ
45.5 Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.
РЕШЕНИЕ
45.6 Найти длину волны де Бройля λ для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
РЕШЕНИЕ
45.7 Определить длину волны де Бройля λ электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.
РЕШЕНИЕ
45.8 С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна его комптоновской длине волны λC?
РЕШЕНИЕ
45.9 Определить длину волны де Бройля λ электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны λ=3 нм.
РЕШЕНИЕ
45.10 Электрон движется по окружности радиусом r=0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B=8 мТл. Определить длину волны де Бройля λ электрона.
РЕШЕНИЕ
45.11 На грань некоторого кристалла под углом α=60 к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
РЕШЕНИЕ
45.12 Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v=1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной a= 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l=50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами.
РЕШЕНИЕ
45.13 Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U=30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположенной за листком на расстоянии l=20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пятна и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружности r=3,4 мм. Определить: 1) угол φ отражения электронов от микрокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля λ электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота.
РЕШЕНИЕ
45.14 Прибор зарегистрировал скорость распространения электромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазовую или групповую?
РЕШЕНИЕ
45.15 Можно ли измерить фазовую скорость?
РЕШЕНИЕ
45.16 Волновой пакет образован двумя плоскими монохроматическими волнами: e1=cos(1002t—Зх); e2(x, t)=cos(1003t—3,01x). Определить фазовые скорости v1 и v2 каждой волны и групповую скорость и волнового пакета .
РЕШЕНИЕ
45.17 Известно, что фазовая скорость v=ω/k. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.18 Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это постулатам теории относительности?
РЕШЕНИЕ
45.19 Зная общее выражение групповой скорости, найти групповую скорость u волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.2 Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.
РЕШЕНИЕ
45.21 Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля?
РЕШЕНИЕ
45.22 Определить неточность Δx в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью v=1,5*106 м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
РЕШЕНИЕ
45.23 Электрон с кинетической энергией T=15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d=1 мкм. Оценить относительную неточность Δv, с которой может быть определена скорость электрона.
РЕШЕНИЕ
45.24 Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δx ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%?
РЕШЕНИЕ
45.25 Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Δp/p импульса этой частицы.
РЕШЕНИЕ
45.26 Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥h, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
РЕШЕНИЕ
45.27 Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥ħ, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l≈0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
45.28 Приняв, что минимальная энергия E нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.
РЕШЕНИЕ
45.29 Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм.
РЕШЕНИЕ
45.3 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетнческнй пучок электронов (Т= 10 эВ) падает на щель шириной a. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Δх=а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса Δp/p электрона в двух случаях: 1) a=10 нм; 2) a=0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
45.31 Пылинки массой m=10-12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2*10^3 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
45.32 Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей ΔEΔt≥h?
РЕШЕНИЕ
45.33 Используя соотношение неопределенности ΔEΔt≥h, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 10-8 с).
РЕШЕНИЕ
45.34 Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (т~10-8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ=0,6 мкм).
РЕШЕНИЕ
45.35 В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия E электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (р2=2 mЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами /. Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?
РЕШЕНИЕ