Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.
Кинематика :
Сложное движение точки
§ 21. Уравнения движений точки
Задачи с решениями
21.1 Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебании: x1 = 2cos(πt + π/2); x2 = 3cos(πt + π)
РЕШЕНИЕ
21.2 Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью ω0. Радиус барабана r. Самописец соединен с деталью, движущейся по вертикали по закону y = a sin ω1t. Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
РЕШЕНИЕ
21.3 При вращении поворотного крана вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω1 груз A поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан B. Барабан B радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью ω2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
РЕШЕНИЕ
21.4 При совмещении работы механизмов подъема груза и перемещения крана груз A перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан B радиуса r=0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз A, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ω=2π рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v=0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза x0=10 м, y0=6 м.
РЕШЕНИЕ
21.5 Стрела AB поворотного крана вращается вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от A к B движется тележка с постоянной скоростью v0. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси O1O2.
РЕШЕНИЕ
21.6 Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ox со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Oy тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой AB=2,5 см, а длина O1C=8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка O синусоиды соответствует положению тела при t=0.
РЕШЕНИЕ
21.7 Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью v=5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом T=0,5 c. Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ox направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Oy — вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
РЕШЕНИЕ
21.8 Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид x = a sin (ωt + α), y = b(sin ωt + β).
РЕШЕНИЕ
21.9 Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = a sin 2ωt, y = a sin ωt. Найти уравнение траектории.
РЕШЕНИЕ
21.10 Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox — горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy — вертикально вниз.
РЕШЕНИЕ
21.11 Резец M совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону x=a sin ωt. Найти уравнение траектории конца резца M относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси O, пересекающей абсолютную траекторию резца.
РЕШЕНИЕ
21.12 В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси AB, имеющей в части A винтовую нарезку с шагом h1 мм, а в части B — нарезку с шагом h2<h1. Часть A вращается в неподвижной гайке C, а часть B охватывается элементом D, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы. 1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на 1/n оборота (соответствующая шкала нанесена на диске E), если n=200, h1=0,5 мм и h2=0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые. 2) Как изменится показание прибора, если в части A сделать левую нарезку, а в части B — правую?
РЕШЕНИЕ
21.13 Ускорительный механизм строгального станка состоит из двух параллельных валов O и O1, кривошипа OA и кулисы O1B. Конец кривошипа OA соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе O1B. Найти уравнение относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы, если кривошип OA длины r вращается с постоянной угловой скоростью ω, расстояние между осями валов OO1=a.
РЕШЕНИЕ
21.14 В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала O, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца A неподвижного кривошипа OA. Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек B поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью ω. Дано: OA=r и AB=l. Оси Ox и Oy имеют начало в центре вала. Принять, что λ=r/l мало.
РЕШЕНИЕ
21.15 Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью v0, направленной под углом α к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
21.2 Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью ω0. Радиус барабана r. Самописец соединен с деталью, движущейся по вертикали по закону y = a sin ω1t. Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
РЕШЕНИЕ
21.3 При вращении поворотного крана вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω1 груз A поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан B. Барабан B радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью ω2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
РЕШЕНИЕ
21.4 При совмещении работы механизмов подъема груза и перемещения крана груз A перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан B радиуса r=0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз A, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ω=2π рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v=0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза x0=10 м, y0=6 м.
РЕШЕНИЕ
21.5 Стрела AB поворотного крана вращается вокруг оси O1O2 с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от A к B движется тележка с постоянной скоростью v0. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси O1O2.
РЕШЕНИЕ
21.6 Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ox со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Oy тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой AB=2,5 см, а длина O1C=8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка O синусоиды соответствует положению тела при t=0.
РЕШЕНИЕ
21.7 Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью v=5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом T=0,5 c. Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ox направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Oy — вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
РЕШЕНИЕ
21.8 Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид x = a sin (ωt + α), y = b(sin ωt + β).
РЕШЕНИЕ
21.9 Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = a sin 2ωt, y = a sin ωt. Найти уравнение траектории.
РЕШЕНИЕ
21.10 Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox — горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy — вертикально вниз.
РЕШЕНИЕ
21.11 Резец M совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону x=a sin ωt. Найти уравнение траектории конца резца M относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси O, пересекающей абсолютную траекторию резца.
РЕШЕНИЕ
21.12 В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси AB, имеющей в части A винтовую нарезку с шагом h1 мм, а в части B — нарезку с шагом h2<h1. Часть A вращается в неподвижной гайке C, а часть B охватывается элементом D, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы. 1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на 1/n оборота (соответствующая шкала нанесена на диске E), если n=200, h1=0,5 мм и h2=0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые. 2) Как изменится показание прибора, если в части A сделать левую нарезку, а в части B — правую?
РЕШЕНИЕ
21.13 Ускорительный механизм строгального станка состоит из двух параллельных валов O и O1, кривошипа OA и кулисы O1B. Конец кривошипа OA соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе O1B. Найти уравнение относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы, если кривошип OA длины r вращается с постоянной угловой скоростью ω, расстояние между осями валов OO1=a.
РЕШЕНИЕ
21.14 В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала O, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца A неподвижного кривошипа OA. Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек B поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью ω. Дано: OA=r и AB=l. Оси Ox и Oy имеют начало в центре вала. Принять, что λ=r/l мало.
РЕШЕНИЕ
21.15 Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью v0, направленной под углом α к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
РЕШЕНИЕ