31.1 Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке O. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в наинизшем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.
РЕШЕНИЕ

31.2 Сохраняя условия предыдущей задачи, кроме величины скорости v0, найти, при какой величине скорости v0 груз будет проходить всю окружность.
РЕШЕНИЕ

31.3 По рельсам, положенным по пути AB и образующим затем петлю в виде кругового кольца BC радиуса a, скатывается вагонетка массы m. С какой высоты h нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N вагонетки на кольцо в точке M, для которой ∠MOB=φ.
РЕШЕНИЕ

31.4 Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки A, образует разомкнутую петлю радиуса r, как показано на рисунке; ∠BOC=∠BOD=α. Найти, с какой высоты h должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла α, при котором эта высота h наименьшая. Указание. На участке DC центр тяжести вагонетки совершает параболическое движение.
РЕШЕНИЕ

31.5 Тяжелая стальная отливка массы M=20 кг прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси O. Отливка падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рисунок к задаче 30.14.)
РЕШЕНИЕ

31.6 Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю?
РЕШЕНИЕ

31.7 Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь.
РЕШЕНИЕ

31.8 За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН?
РЕШЕНИЕ

31.9 Тяжелая отливка массы m прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси O и отклонен от вертикали на угол φ0. Из этого начального положения отливке сообщают начальную скорость v0 (см. рисунок). Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня l.
РЕШЕНИЕ

31.10 Сферический маятник состоит из нити OM длины l, прикрепленной одним концом к неподвижной точке O, и тяжелой точки M веса P, прикрепленной к другому концу нити. Точку M отклонили из положения равновесия так, что ее координаты стали: при t=0 x=x0, y=0, и сообщили ей начальную скорость: x0 =0, y0 =v0, z0 =0. Определить, при каком соотношении начальных условий точка M будет описывать окружность в горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки M по этой окружности.
РЕШЕНИЕ

31.11 Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады AB, наклоненной под углом α=30° к горизонту. Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку BC, длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости vy=1 м/с. Высота эстакады h=9 м, коэффициент трения лыж о снег f=0,08, линия приземления CD образует угол β=45° с горизонтом. Определить дальность l полета лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха. Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва C до точки приземления лыжника на линии CD.
РЕШЕНИЕ

31.12 Груз М веса Р падает без начальной скорости с высоты H на плиту A, лежащую на спиральной пружине B. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину h. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину h и импульс S упругой силы пружины за время Т.
РЕШЕНИЕ

31.13 При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии s=280 м от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из первоначального положения в конечное, лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика R=1,75 м.
РЕШЕНИЕ

31.14 Груз M, подвешенный на пружине к верхней точке A круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке B равнялось нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см и пружина имеет натуральную длину; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебречь.
РЕШЕНИЕ

31.15 Определить давление груза M на кольцо в нижней точке B (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебрегаем.
РЕШЕНИЕ

31.16 Гладкое тяжелое кольцо M веса Q может скользить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить MOA, проходящая через гладкое неподвижное кольцо O и закрепленная в точке A. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо M находится в точке O, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу c. В начальный момент кольцо находится в точке B в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начинает скользить по окружности. Определить давление N, производимое кольцом на окружность.
РЕШЕНИЕ

31.17 Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке O. В начальном положении M0 груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 3,5 м/с. 1) Найти то положение M груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость v1 в этом положении. 2) Определить траекторию последующего движения груза до того момента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение которого точка пройдет эту траекторию.
РЕШЕНИЕ

31.18 Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маятника на этой высоте остался без изменений? Силу тяжести считать обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли.
РЕШЕНИЕ

31.19 В неподвижной точке O посредством нити OM длины l подвешен груз M массы m. В начальный момент нить OM составляет с вертикалью угол α и скорость груза M равна нулю. При последующем движении нить встречает тонкую проволоку O1, направление которой перпендикулярно плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами: h=OO1 и β. Определить наименьшее значение угла α, при котором нить OM после встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь.
РЕШЕНИЕ

31.20 Тяжелая точка M массы m движется по внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса r. Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, определить давление точки на цилиндр. Начальная скорость точки равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом.
РЕШЕНИЕ

31.21 В предыдущей задаче составить уравнения движения точки, если в начальный момент точка находилась на оси x.
РЕШЕНИЕ

31.22 Камень M, находящийся на вершине A гладкого полусферического купола радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях v0 камень сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь.
РЕШЕНИЕ

31.23 Точка M массы m движется по гладкой поверхности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в начальный момент точка имела скорость v0 и находилась на высоте h0 от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте h от основания купола.
РЕШЕНИЕ

31.24 Точка M массы m движется по цепной линии y = (ex/a + e-x/a)a/2 = a ch(x/a) под действием силы отталкивания, параллельной оси Oy, направленной от оси Ox и равной kmy. В момент t=0 x=1 м, x =1 м/с. Определить давление N точки на кривую и движение точки при k=1 рад/с2 и a=1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен y2/a.
РЕШЕНИЕ

31.25 По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Oy?
РЕШЕНИЕ

31.26 Точка M массы m=1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2α=90°, под влиянием силы отталкивания от вершины O, пропорциональной расстоянию: F=c*OM Н, где c=1 Н/м. В начальный момент точка M находится в точке A, расстояние OA равно a=2 м, начальная скорость v0=2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки M (силой тяжести пренебречь). Положение точки M определяем координатой z и полярными координатами r и φ в плоскости, перпендикулярной оси Oz; уравнение поверхности конуса r2-z2=0.
РЕШЕНИЕ

31.27 При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса.
РЕШЕНИЕ

31.28 Материальная точка A под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z=aφ+f(r); коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси AB=r0, т.е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что a=const. Указание. Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке A. На рисунке угол между нормальной компонентой N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали n° обозначен через β.
РЕШЕНИЕ

31.29 Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке A шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны f?
РЕШЕНИЕ

31.30 Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке A внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно достигло верхней точки B цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f.
РЕШЕНИЕ

31.31 Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
РЕШЕНИЕ

31.32 Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П=x2+xy+y2. В начальный момент точка имеет координаты x=3 см, y=4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси x. Определить движение точки.
РЕШЕНИЕ

31.33 Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса a, сообщили начальную скорость v0. Коэффициент трения кольца о проволоку равен f. Определить, через какое время кольцо остановится.
РЕШЕНИЕ

31.34 Материальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой F=(-8xi-8yj-2zk) Н. Начальное положение материальной точки определяется координатами x=4 см, y=2 см, z=4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию.
РЕШЕНИЕ

31.35 Конический маятник имеет длину l и описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса a. Определить период обращения конического маятника.
РЕШЕНИЕ