Задачи из решебника Мещерского онлайн, 1986 г.
Статика твердого тела:
Пространственная система сил
§ 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
Задачи на тему
6.1 Угловой столб составлен из двух одинаково наклоненных брусьев AB и AC, скрепленных в вершине посредством шарнира. Угол BAC=30°. Столб поддерживает два горизонтальных провода AD и AE, составляющих между собой прямой угол. Натяжение каждого провода равно 1 кН. Определить усилия в брусьях, предполагая, что плоскость BAC делит пополам угол DAE, пренебрегая весом брусьев.
РЕШЕНИЕ
6.2 Горизонтальные провода телеграфной линии подвешены к телеграфному столбу AB с подкосом AC и составляют угол DAE=90°. Натяжения проводов AD и AE соответственно равны 120 Н и 160 Н. В точке A крепление шарнирное. Найти угол α между плоскостями BAC и BAE, при котором столб не испытывает бокового изгиба, и определить усилие S в подкосе, если он поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.3 Груз Q=100 Н поддерживается брусом AO, шарнирно закрепленным в точке A и наклоненным под углом 45° к горизонту, и двумя горизонтальными цепями BO и CO одинаковой длины; ∠CBO=∠BCO=45°. Найти усилие S в брусе и натяжения T цепей.
РЕШЕНИЕ
6.4 Найти усилия S1 и S2 в стержнях AB и AC и усилие T в тросе AD, если дано, что ∠CBA=∠BCA=60°, ∠EAD=30°. Вес груза P равен 300 Н. Плоскость ABC горизонтальна. Крепления стержней в точках A, B и C шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.5 Найти усилия в стержне AB и цепях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 420 Н, если AB=145 см, AC=80 см, AD=60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке B шарнирное.
РЕШЕНИЕ
6.6 Определить усилия в тросе AB и в стержнях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 180 Н, если AB=170 см, AC=AD=100 см, CD=120 см; CK=KD и плоскость ΔCDA горизонтальна. Крепления стержней в точках A, C и D шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.7 Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН, устроен так, как указано на рисунке; AB=AE=AF=2 м; угол EAF=90°, плоскость крана ABC делит прямой двугранный угол EABF пополам. Определить силу P1, сжимающую вертикальную стойку AB, а также силы P2, P3 и P4, растягивающие струну BC и тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана.
РЕШЕНИЕ
6.8 Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках A, B и D шарнирные. Определить реакции опор A, B и C.
РЕШЕНИЕ
6.9 Воздушный шар, удерживаемый двумя тросами, находится под действием ветра. Тросы образуют между собой прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с плоскостью горизонта угол 60°. Направление ветра перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара 215,4 м3, вес 1 м3 воздуха 13 Н. Определить натяжения T1 и T2 тросов и равнодействующую P сил давления ветра на шар, считая, что линии действия всех сил, приложенных к шару, пересекаются в центре шара.
РЕШЕНИЕ
6.10 На рисунке изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сила P действует на узел A в плоскости прямоугольника ABCD; при этом ее линия действия составляет с вертикалью CA угол 45°. ΔEAK=ΔFBM. Углы равнобедренных треугольников EAK, FBM и NDB при вершинах A, B и D прямые. Определить усилия в стержнях, если P=1 кН.
РЕШЕНИЕ
6.11 Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла α, если дано: AB=BC=AD=AE. Крепления в точках A, B, D и E шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.12 Угловой столб AB, поддерживающий воздушный кабель, удерживается двумя оттяжками AC и AD, причем ∠CBD=90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависимости от угла φ, образованного одной из двух ветвей кабеля с плоскостью CBA. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпендикулярны, натяжения в них одинаковы и равны T.
РЕШЕНИЕ
6.13 Мачта AB удерживается в вертикальном положении посредством четырех симметрично расположенных оттяжек. Угол между каждыми двумя смежными оттяжками равен 60°. Определить давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН, а вес мачты 2 кН.
РЕШЕНИЕ
6.14 Четыре ребра AB, AC, AD и AE правильной пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды AO=10 м и радиус круга, описанного около основания, OC=4,5 м, найти равнодействующую R и расстояние x от точки O до точки пересечения равнодействующей с основанием.
РЕШЕНИЕ
6.15 К вершине B треножника ABCD подвешен груз E, вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек, если известно, что они образуют с вертикалью BE углы в 30°.
РЕШЕНИЕ
6.16 Найти усилия S в ногах AD, BD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес P равномерно поднимаемого груза равен 3 кН. При этом AB=BC=AC. (Вид сверху рисунка аналогичен рис. 6.17.)
РЕШЕНИЕ
6.17 Для подъема из шахты груза P веса 30 кН установлены тренога ABCD и лебедка E. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник ABC равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по отношению к треноге видно из рисунка.
РЕШЕНИЕ
6.18 На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен груз веса P. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров T, выразив искомые величины через P.
РЕШЕНИЕ
6.19 Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен p и приложен к ее середине.
РЕШЕНИЕ
6.20 Три однородных шара A, B и C одинаковых радиусов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар O того же радиуса и также однородный, веса 10 Н, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура T, вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между собою и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.21 В точках A, B и C, лежащих на прямоугольных координатных осях на одинаковом расстоянии l от начала координат O, закреплены нити: AD=BD=CD=L, связанные в точке D, координаты которой x = y = z = 1/3 (l - √(3L2 - 2l2)). В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей TA, TB и TC, предполагая, что √(2/3)l < L < l.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
6.2 Горизонтальные провода телеграфной линии подвешены к телеграфному столбу AB с подкосом AC и составляют угол DAE=90°. Натяжения проводов AD и AE соответственно равны 120 Н и 160 Н. В точке A крепление шарнирное. Найти угол α между плоскостями BAC и BAE, при котором столб не испытывает бокового изгиба, и определить усилие S в подкосе, если он поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.3 Груз Q=100 Н поддерживается брусом AO, шарнирно закрепленным в точке A и наклоненным под углом 45° к горизонту, и двумя горизонтальными цепями BO и CO одинаковой длины; ∠CBO=∠BCO=45°. Найти усилие S в брусе и натяжения T цепей.
РЕШЕНИЕ
6.4 Найти усилия S1 и S2 в стержнях AB и AC и усилие T в тросе AD, если дано, что ∠CBA=∠BCA=60°, ∠EAD=30°. Вес груза P равен 300 Н. Плоскость ABC горизонтальна. Крепления стержней в точках A, B и C шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.5 Найти усилия в стержне AB и цепях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 420 Н, если AB=145 см, AC=80 см, AD=60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке B шарнирное.
РЕШЕНИЕ
6.6 Определить усилия в тросе AB и в стержнях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 180 Н, если AB=170 см, AC=AD=100 см, CD=120 см; CK=KD и плоскость ΔCDA горизонтальна. Крепления стержней в точках A, C и D шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.7 Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН, устроен так, как указано на рисунке; AB=AE=AF=2 м; угол EAF=90°, плоскость крана ABC делит прямой двугранный угол EABF пополам. Определить силу P1, сжимающую вертикальную стойку AB, а также силы P2, P3 и P4, растягивающие струну BC и тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана.
РЕШЕНИЕ
6.8 Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках A, B и D шарнирные. Определить реакции опор A, B и C.
РЕШЕНИЕ
6.9 Воздушный шар, удерживаемый двумя тросами, находится под действием ветра. Тросы образуют между собой прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с плоскостью горизонта угол 60°. Направление ветра перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара 215,4 м3, вес 1 м3 воздуха 13 Н. Определить натяжения T1 и T2 тросов и равнодействующую P сил давления ветра на шар, считая, что линии действия всех сил, приложенных к шару, пересекаются в центре шара.
РЕШЕНИЕ
6.10 На рисунке изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сила P действует на узел A в плоскости прямоугольника ABCD; при этом ее линия действия составляет с вертикалью CA угол 45°. ΔEAK=ΔFBM. Углы равнобедренных треугольников EAK, FBM и NDB при вершинах A, B и D прямые. Определить усилия в стержнях, если P=1 кН.
РЕШЕНИЕ
6.11 Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла α, если дано: AB=BC=AD=AE. Крепления в точках A, B, D и E шарнирные.
РЕШЕНИЕ
6.12 Угловой столб AB, поддерживающий воздушный кабель, удерживается двумя оттяжками AC и AD, причем ∠CBD=90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависимости от угла φ, образованного одной из двух ветвей кабеля с плоскостью CBA. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпендикулярны, натяжения в них одинаковы и равны T.
РЕШЕНИЕ
6.13 Мачта AB удерживается в вертикальном положении посредством четырех симметрично расположенных оттяжек. Угол между каждыми двумя смежными оттяжками равен 60°. Определить давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН, а вес мачты 2 кН.
РЕШЕНИЕ
6.14 Четыре ребра AB, AC, AD и AE правильной пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды AO=10 м и радиус круга, описанного около основания, OC=4,5 м, найти равнодействующую R и расстояние x от точки O до точки пересечения равнодействующей с основанием.
РЕШЕНИЕ
6.15 К вершине B треножника ABCD подвешен груз E, вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек, если известно, что они образуют с вертикалью BE углы в 30°.
РЕШЕНИЕ
6.16 Найти усилия S в ногах AD, BD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес P равномерно поднимаемого груза равен 3 кН. При этом AB=BC=AC. (Вид сверху рисунка аналогичен рис. 6.17.)
РЕШЕНИЕ
6.17 Для подъема из шахты груза P веса 30 кН установлены тренога ABCD и лебедка E. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник ABC равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по отношению к треноге видно из рисунка.
РЕШЕНИЕ
6.18 На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен груз веса P. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров T, выразив искомые величины через P.
РЕШЕНИЕ
6.19 Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен p и приложен к ее середине.
РЕШЕНИЕ
6.20 Три однородных шара A, B и C одинаковых радиусов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар O того же радиуса и также однородный, веса 10 Н, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура T, вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между собою и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.21 В точках A, B и C, лежащих на прямоугольных координатных осях на одинаковом расстоянии l от начала координат O, закреплены нити: AD=BD=CD=L, связанные в точке D, координаты которой x = y = z = 1/3 (l - √(3L2 - 2l2)). В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей TA, TB и TC, предполагая, что √(2/3)l < L < l.
РЕШЕНИЕ