Элементы квантовой механики
§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц
Условия задач и ссылки на решения по теме:
1 Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика.
РЕШЕНИЕ
2 Моноэнергетический поток электронов (E=100 эВ) падает на низкий * прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (рис. 46.1). Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражается. * Прямоугольный потенциальный барьер называется низким, если энергия E частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким.
РЕШЕНИЕ
3 Электрон с энергией E=4,9 эВ движется в положительном направлении оси x (рис. 46.3). Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?
РЕШЕНИЕ
46.1 Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме.
РЕШЕНИЕ
46.2 Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия, f=-βk (где β – коэффициент пропорциональности, x – смещение).
РЕШЕНИЕ
46.3 Временная часть уравнения Шредингера имеет вид ihdψ/dt = Eψ. Найти решение уравнения.
РЕШЕНИЕ
46.4 Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси x со скоростью v. Найти решение этого уравнения.
РЕШЕНИЕ
46.5 Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой ψ-функции, а о квадрате ее модуля ψ2?
РЕШЕНИЕ
46.6 Чем обусловлено требование конечности ψ-функции?
РЕШЕНИЕ
46.7 Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид... Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерывность и непрерывность первой производной от волновой функции.
РЕШЕНИЕ
46.8 Может ли |ψ(x)|2 быть больше единицы?
РЕШЕНИЕ
46.9 Показать, что для ψ-функции выполняется равенство |ψ(х)|2=ψ(x)ψ*(x), где ψ*(х) означает функцию, комплексно сопряженную ψ(х).
РЕШЕНИЕ
46.10 Доказать, что если ψ-функция циклически зависит от времени, то плотность вероятности есть функция только координаты. Одномерный бесконечно глубокий потенциальный тцик
РЕШЕНИЕ
46.11 Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II((0<х<l).
РЕШЕНИЕ
46.12 Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: ψ(x)=С1 sin kx +С2 cos kx. Используя граничные условия ψ(0)=0 и ψ(l)=0, определить коэффициент C2, и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения.
РЕШЕНИЕ
46.13 Электрону в потенциальном ящике шириной l отвечает волновое число k= = пn/l (n=1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии E электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных значений энергии Еn.
РЕШЕНИЕ
46.14 Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней ΔEn+1, n к энергии En частицы в трех случаях: 1) n = 3; 2) n = 10; 3) n → ∞. Пояснить полученные результаты.
РЕШЕНИЕ
46.15 Электрон находится в потенциальном ящике шириной l=0,5 нм. Определить наименьшую разность ΔE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
РЕШЕНИЕ
46.16 Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид ψn(x)=C sin(πnx/l). Используя условия нормировки, определить постоянную C.
РЕШЕНИЕ
46.17 Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде ψ(х)=C1еikx+С2е-ikx, где k=√2mE/h. Используя граничные условия и нормировку ψ-функции, определить: 1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En. Найти выражение для собственной нормированной ψ-функции.
РЕШЕНИЕ
46.18 Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ψn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид |ψn(x)|2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<x<l) и квантовым числом n. Функцию считать нормированной на единицу.
РЕШЕНИЕ
46.19 Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<l) плотность вероятности |ψ2(х)|2 нахождения частицы максимальна и минимальна.
РЕШЕНИЕ
46.20 Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0<x<l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.
РЕШЕНИЕ
46.21 Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?
РЕШЕНИЕ
46.22 В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
РЕШЕНИЕ
46.23 Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
РЕШЕНИЕ
46.24 Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
РЕШЕНИЕ
46.25 Показать что собственные функции, описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности
РЕШЕНИЕ
46.26 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты x электрона (0<х<l).
РЕШЕНИЕ
46.27 Используя выражение энергии En = π2h2n2/(2ml2) частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
РЕШЕНИЕ
46.28 Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l=10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.
РЕШЕНИЕ
46.29 Определить из условия нормировки коэффициент С собственной ψ-функции, описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами l2, l2
РЕШЕНИЕ
46.30 Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.
РЕШЕНИЕ
46.31 Определить из условия нормировки коэффициент собственной ψ-функции ψ (x,y,z), описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l1 l2 l3.
РЕШЕНИЕ
46.32 Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией E движущегося в положительном направлении оси X для областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.
РЕШЕНИЕ
46.33 Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты А1 и В1 для ψI(x) и А2 и В2 дтя ψII(х)? Чему равен коэффициент B2?
РЕШЕНИЕ
46.34 Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера ψ1(х)=A1eikx + B1e-ikx, ψII(х)=A2eikx, определить из условий непрерывности ψ-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1, A2/A1
РЕШЕНИЕ
46.35 Зная отношение амплитуд вероятности B1/A1 = (k1-k2)/(k1+k2) для волны, отраженной от барьера, и A2/A1 = 2k/(k1+k2) для проходящей волны , найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения т.
РЕШЕНИЕ
46.36 Считая выражение для коэффициента отражения ρ от потенциального барьера и коэффициента прохождения τ известными, показать, что ρ+τ= 1.
РЕШЕНИЕ
46.37 Электрон с энергией Е=25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U=9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.38 Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ. а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.39 Электрон обладает энергией £=10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость v, длина волны де Бройля к и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U=6 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.40 Протон с энергией E=1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1%. Определить высоту U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.41 На пути электрона с дебройлевской длиной волны λ1=0,1 нм находится потенциальный барьер высотой U=20 эВ. Определить длину волны де Бройля λ2 после прохождения барьера.
РЕШЕНИЕ
46.42 Электрон с энергией E=100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой U=64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.
РЕШЕНИЕ
46.43 Найти приближенное выражение коэффициента отражения ρ от очень низкого потенциального барьера (U<E).
РЕШЕНИЕ
46.44 Коэффициент отражения ρ протона от потенциального барьера равен 2,5*10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии T падающих на барьер протонов.
РЕШЕНИЕ
46.45 Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения ρ от него.
РЕШЕНИЕ
46.46 Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения ρ=0,5.
РЕШЕНИЕ
46.47 При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии E электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения ρ=0,5?
РЕШЕНИЕ
46.48 Электрон с энергией Е=10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления n волн де Бройля и коэффициент отражения ρ численно совпадают.
РЕШЕНИЕ
46.49 Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения ρ и коэффициент прохождения т электронов на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.50 Коэффициент прохождения т электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения р. Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.51 Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения т электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления n волн де Бройля.
РЕШЕНИЕ
46.52 Коэффициент прохождения т протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления n волн де Бройля на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.53 Электрон с кинетической энергией Т движется в положительном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициента прохождения т на границе потенциальной ступени высотой U (рис. 46.5).
РЕШЕНИЕ
46.54 Найти приближенное выражение для коэффициента прохождения т через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.55 Вычислить коэффициент прохождения т электрона с энергией E=100 эВ через потенциальный барьер высотой U=99, 75 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.56 Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Np электронов, отраженных от барьера, и плотности потока электронов, прошедших через барьер.
РЕШЕНИЕ
46.57 На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии J1= 10 Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 электронов, прошедших барьер, если высота его (U=0,91 эВ и энергия E электронов в падающем потоке равна 1 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.58 Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения т=0.9. Определить отношение J2/J1, плотности потока энергии волны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер.
РЕШЕНИЕ
46.59 На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация n0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E=100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U=9,7 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.60 Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси x для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потенциальный барьер высотой U.
РЕШЕНИЕ
46.61 Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) ψ-функции имеют вид... Используя непрерывность ψ-функций и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2/A1.
РЕШЕНИЕ
46.62 Написать выражение для ψ(x) в области II (рис. 46.6) высокого потенциального барьера, если ψ-функция нормирована так, что А1 = 1.
РЕШЕНИЕ
46.63 Амплитуда А2 волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна... Установить выражение для плотности вероятности нахождения частицы в области II (x>0), если энергия частицы равна E, а высота потенциального барьера равна U.
РЕШЕНИЕ
46.64 Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени ρ, где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).
РЕШЕНИЕ
46.65 Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде
РЕШЕНИЕ
46.66 Определить плотность вероятности |ψ(0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке x=0, если энергия электрона равна E, высота потенциального барьера равна U и ψ-функцня нормирована так, что А1= 1.
РЕШЕНИЕ
46.67 Написать уравнения Шредингера для частицы с энергией E, движущейся в положительном направлении оси X для областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.
РЕШЕНИЕ
46.68 Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I, II и III, пренебрегая волнами, отраженными от границ I—II и II—III, и найти коэффициент прозрачности D барьера.
РЕШЕНИЕ
46.69 Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U—Е=1 эВ, если ширина барьера: 1) d=0,1 им; 2) d-=0.5 нм.
РЕШЕНИЕ
46.70 Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d=0,5 нм. Высота U барьера больше энергии E электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E=10 эВ; 2) E=100 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.71 Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U-E= 1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в n=10 раз?
РЕШЕНИЕ
46.72 Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D=0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).
РЕШЕНИЕ
46.73 При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U-E=10 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.74 Электрон с энергией E движется в положительном направлении оси X. При каком значении U-E, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D=10-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?
РЕШЕНИЕ
46.75 Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U=10эВ и ширина d=0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
46.76 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d=0,1 нм. При какой разности энергий U-E вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?
РЕШЕНИЕ
46.77 Ядро испускает α-частицы с энергией Е=5МэВ. В грубом приближении можно считать, что α-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U= 10 МэВ и шириной d=5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для α-частиц.
РЕШЕНИЕ
46.78 Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Δφ=10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности Dc для электрона и Dp для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и ширина d=0,1 пм?
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2 Моноэнергетический поток электронов (E=100 эВ) падает на низкий * прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (рис. 46.1). Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражается. * Прямоугольный потенциальный барьер называется низким, если энергия E частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким.
РЕШЕНИЕ
3 Электрон с энергией E=4,9 эВ движется в положительном направлении оси x (рис. 46.3). Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?
РЕШЕНИЕ
46.1 Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме.
РЕШЕНИЕ
46.2 Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия, f=-βk (где β – коэффициент пропорциональности, x – смещение).
РЕШЕНИЕ
46.3 Временная часть уравнения Шредингера имеет вид ihdψ/dt = Eψ. Найти решение уравнения.
РЕШЕНИЕ
46.4 Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси x со скоростью v. Найти решение этого уравнения.
РЕШЕНИЕ
46.5 Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой ψ-функции, а о квадрате ее модуля ψ2?
РЕШЕНИЕ
46.6 Чем обусловлено требование конечности ψ-функции?
РЕШЕНИЕ
46.7 Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид... Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерывность и непрерывность первой производной от волновой функции.
РЕШЕНИЕ
46.8 Может ли |ψ(x)|2 быть больше единицы?
РЕШЕНИЕ
46.9 Показать, что для ψ-функции выполняется равенство |ψ(х)|2=ψ(x)ψ*(x), где ψ*(х) означает функцию, комплексно сопряженную ψ(х).
РЕШЕНИЕ
46.10 Доказать, что если ψ-функция циклически зависит от времени, то плотность вероятности есть функция только координаты. Одномерный бесконечно глубокий потенциальный тцик
РЕШЕНИЕ
46.11 Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II((0<х<l).
РЕШЕНИЕ
46.12 Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: ψ(x)=С1 sin kx +С2 cos kx. Используя граничные условия ψ(0)=0 и ψ(l)=0, определить коэффициент C2, и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения.
РЕШЕНИЕ
46.13 Электрону в потенциальном ящике шириной l отвечает волновое число k= = пn/l (n=1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии E электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных значений энергии Еn.
РЕШЕНИЕ
46.14 Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней ΔEn+1, n к энергии En частицы в трех случаях: 1) n = 3; 2) n = 10; 3) n → ∞. Пояснить полученные результаты.
РЕШЕНИЕ
46.15 Электрон находится в потенциальном ящике шириной l=0,5 нм. Определить наименьшую разность ΔE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
РЕШЕНИЕ
46.16 Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид ψn(x)=C sin(πnx/l). Используя условия нормировки, определить постоянную C.
РЕШЕНИЕ
46.17 Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде ψ(х)=C1еikx+С2е-ikx, где k=√2mE/h. Используя граничные условия и нормировку ψ-функции, определить: 1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En. Найти выражение для собственной нормированной ψ-функции.
РЕШЕНИЕ
46.18 Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ψn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид |ψn(x)|2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<x<l) и квантовым числом n. Функцию считать нормированной на единицу.
РЕШЕНИЕ
46.19 Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<l) плотность вероятности |ψ2(х)|2 нахождения частицы максимальна и минимальна.
РЕШЕНИЕ
46.20 Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0<x<l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.
РЕШЕНИЕ
46.21 Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?
РЕШЕНИЕ
46.22 В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
РЕШЕНИЕ
46.23 Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
РЕШЕНИЕ
46.24 Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
РЕШЕНИЕ
46.25 Показать что собственные функции, описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности
РЕШЕНИЕ
46.26 Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты x электрона (0<х<l).
РЕШЕНИЕ
46.27 Используя выражение энергии En = π2h2n2/(2ml2) частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
РЕШЕНИЕ
46.28 Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l=10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.
РЕШЕНИЕ
46.29 Определить из условия нормировки коэффициент С собственной ψ-функции, описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами l2, l2
РЕШЕНИЕ
46.30 Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.
РЕШЕНИЕ
46.31 Определить из условия нормировки коэффициент собственной ψ-функции ψ (x,y,z), описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l1 l2 l3.
РЕШЕНИЕ
46.32 Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией E движущегося в положительном направлении оси X для областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.
РЕШЕНИЕ
46.33 Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты А1 и В1 для ψI(x) и А2 и В2 дтя ψII(х)? Чему равен коэффициент B2?
РЕШЕНИЕ
46.34 Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера ψ1(х)=A1eikx + B1e-ikx, ψII(х)=A2eikx, определить из условий непрерывности ψ-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1, A2/A1
РЕШЕНИЕ
46.35 Зная отношение амплитуд вероятности B1/A1 = (k1-k2)/(k1+k2) для волны, отраженной от барьера, и A2/A1 = 2k/(k1+k2) для проходящей волны , найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения т.
РЕШЕНИЕ
46.36 Считая выражение для коэффициента отражения ρ от потенциального барьера и коэффициента прохождения τ известными, показать, что ρ+τ= 1.
РЕШЕНИЕ
46.37 Электрон с энергией Е=25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U=9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.38 Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ. а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.39 Электрон обладает энергией £=10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость v, длина волны де Бройля к и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U=6 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.40 Протон с энергией E=1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1%. Определить высоту U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.41 На пути электрона с дебройлевской длиной волны λ1=0,1 нм находится потенциальный барьер высотой U=20 эВ. Определить длину волны де Бройля λ2 после прохождения барьера.
РЕШЕНИЕ
46.42 Электрон с энергией E=100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой U=64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.
РЕШЕНИЕ
46.43 Найти приближенное выражение коэффициента отражения ρ от очень низкого потенциального барьера (U<E).
РЕШЕНИЕ
46.44 Коэффициент отражения ρ протона от потенциального барьера равен 2,5*10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии T падающих на барьер протонов.
РЕШЕНИЕ
46.45 Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения ρ от него.
РЕШЕНИЕ
46.46 Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения ρ=0,5.
РЕШЕНИЕ
46.47 При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии E электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения ρ=0,5?
РЕШЕНИЕ
46.48 Электрон с энергией Е=10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления n волн де Бройля и коэффициент отражения ρ численно совпадают.
РЕШЕНИЕ
46.49 Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения ρ и коэффициент прохождения т электронов на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.50 Коэффициент прохождения т электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения р. Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.51 Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения т электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления n волн де Бройля.
РЕШЕНИЕ
46.52 Коэффициент прохождения т протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления n волн де Бройля на границе барьера.
РЕШЕНИЕ
46.53 Электрон с кинетической энергией Т движется в положительном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициента прохождения т на границе потенциальной ступени высотой U (рис. 46.5).
РЕШЕНИЕ
46.54 Найти приближенное выражение для коэффициента прохождения т через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.
РЕШЕНИЕ
46.55 Вычислить коэффициент прохождения т электрона с энергией E=100 эВ через потенциальный барьер высотой U=99, 75 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.56 Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Np электронов, отраженных от барьера, и плотности потока электронов, прошедших через барьер.
РЕШЕНИЕ
46.57 На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии J1= 10 Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 электронов, прошедших барьер, если высота его (U=0,91 эВ и энергия E электронов в падающем потоке равна 1 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.58 Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения т=0.9. Определить отношение J2/J1, плотности потока энергии волны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер.
РЕШЕНИЕ
46.59 На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация n0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E=100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U=9,7 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.60 Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси x для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потенциальный барьер высотой U.
РЕШЕНИЕ
46.61 Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) ψ-функции имеют вид... Используя непрерывность ψ-функций и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2/A1.
РЕШЕНИЕ
46.62 Написать выражение для ψ(x) в области II (рис. 46.6) высокого потенциального барьера, если ψ-функция нормирована так, что А1 = 1.
РЕШЕНИЕ
46.63 Амплитуда А2 волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна... Установить выражение для плотности вероятности нахождения частицы в области II (x>0), если энергия частицы равна E, а высота потенциального барьера равна U.
РЕШЕНИЕ
46.64 Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени ρ, где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).
РЕШЕНИЕ
46.65 Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде
РЕШЕНИЕ
46.66 Определить плотность вероятности |ψ(0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке x=0, если энергия электрона равна E, высота потенциального барьера равна U и ψ-функцня нормирована так, что А1= 1.
РЕШЕНИЕ
46.67 Написать уравнения Шредингера для частицы с энергией E, движущейся в положительном направлении оси X для областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.
РЕШЕНИЕ
46.68 Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I, II и III, пренебрегая волнами, отраженными от границ I—II и II—III, и найти коэффициент прозрачности D барьера.
РЕШЕНИЕ
46.69 Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U—Е=1 эВ, если ширина барьера: 1) d=0,1 им; 2) d-=0.5 нм.
РЕШЕНИЕ
46.70 Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d=0,5 нм. Высота U барьера больше энергии E электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E=10 эВ; 2) E=100 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.71 Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U-E= 1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в n=10 раз?
РЕШЕНИЕ
46.72 Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D=0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).
РЕШЕНИЕ
46.73 При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U-E=10 эВ.
РЕШЕНИЕ
46.74 Электрон с энергией E движется в положительном направлении оси X. При каком значении U-E, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D=10-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?
РЕШЕНИЕ
46.75 Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U=10эВ и ширина d=0,1 нм.
РЕШЕНИЕ
46.76 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d=0,1 нм. При какой разности энергий U-E вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?
РЕШЕНИЕ
46.77 Ядро испускает α-частицы с энергией Е=5МэВ. В грубом приближении можно считать, что α-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U= 10 МэВ и шириной d=5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для α-частиц.
РЕШЕНИЕ
46.78 Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Δφ=10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности Dc для электрона и Dp для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и ширина d=0,1 пм?
РЕШЕНИЕ