Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.
Динамика:
Устойчивость равновесия системы, теория колебаний, устойчивость движения
§ 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
Задачи по теме
55.1 Для экспериментального исследования процесса регулирования гидравлических турбин сконструирована установка, состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции относительно оси вращения J1 = 50 кг*см2, маховика с моментом инерции J2 = 1500 кг*см2 и упругого вала C, соединяющего ротор турбины с маховиком; вал имеет длину l= 1552 мм, диаметр d = = 25,4 мм, модуль сдвига материала вала 8800 кН/см. Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков, найти то сечение mn вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период T свободных колебаний системы.
РЕШЕНИЕ
55.2 Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на одном конце, с насаженными посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость на кручение участков вала k1=k2=k. Массой вала пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.3 Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одинаковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость на кручение участков вала k1=k2=k. Массой вала пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.4 Два одинаковых маятника длины l и массы m каждый соединены на уровне h упругой пружиной жесткости k, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоскости равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на угол α от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников и массой пружины пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.5 Диск массы M может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен стержень длины l, на конце которого находится точечный груз массы m. Найти период малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.6 Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс дугой окружности радиуса R, найти частоты малых колебаний рассматриваемой системы.
РЕШЕНИЕ
55.7 Маятник состоит из ползуна массы M, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы m, соединенного с ползуном стержнем длины l, могущим вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жесткости k, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы.
РЕШЕНИЕ
55.8 Два одинаковых физических маятника подвешены на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников. Пренебрегая сопротивлением движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждого маятника P; радиус инерции его относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса, ρ; жесткость пружины k, расстояния от центра масс маятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равны соответственно l и h. (См. рисунок к задаче 55.4.)
РЕШЕНИЕ
55.9 Однородный стержень AB длины L подвешен при помощи нити длины l=0,5L к неподвижной точке. Пренебрегая массой нити, определить частоты главных колебаний системы и найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при первом и втором главных колебаниях.
РЕШЕНИЕ
55.10 Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения L/l, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длины l.
РЕШЕНИЕ
55.11 Считая в задаче 55.9, что длина нити весьма мала по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения l/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вращения поместить в конце стержня.
РЕШЕНИЕ
55.12 Определить частоты главных колебаний двойного математического маятника при условии, что массы грузов M1 и M2 соответственно равны m1 и m2, OM1=l1, M1M2=l2, а к грузу M1 присоединена пружина, массой которой можно пренебречь. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна l0, жесткость пружины k.
РЕШЕНИЕ
55.13 Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня O1O2 длины 2a и веса P1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси O1, и из однородного прямолинейного стержня AB веса P2, шарнирно соединенного в своем центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень O1O2 отклонен на угол φ0 от вертикали, а стержень AB занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.
РЕШЕНИЕ
55.14 Стержень AB веса P подвешен за концы A и B к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины a. К стержню AB подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины b балка CD веса Q. Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.15 Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средней вертикальной плоскости, если вес подрессоренной части вагона Q, расстояния центра масс от вертикальных плоскостей, проведенных через оси, l1=l2=l; радиус инерции относительно центральной оси, параллельной осям вагона, ρ; жесткость рессор для обеих осей одинакова: k1=k2=k.
РЕШЕНИЕ
55.16 Исследовать малые свободные колебания груженой платформы веса P, опирающейся в точках A и B на две рессоры одинаковой жесткости k. Центр масс C платформы с грузом находится на прямой AB, причем AC=a и CB=b. Платформа выведена из положения равновесия путем сообщения центру масс начальной скорости v0, направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен JC=0,1(a2+b2)P/g. Колебания происходят в вертикальной плоскости. За обобщенные координаты принять: y — отклонение центра масс от положения равновесия вниз, ψ — угол поворота платформы вокруг центра масс.
РЕШЕНИЕ
55.17 Платформа тележки опирается в точках А и В на две рессоры одинаковой жесткости c, расстояние между осями рессор AB = l; центр масс С платформы расположен на прямой AB, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии AC = a =l/3 от точки A (см. рисунок к задаче 55.16). Радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно прямой А В и лежащей в плоскости платформы, принять равным 0,2l; вес платформы равен Q. Найти малые колебания платформы, возникающие под действием удара, приложенного в центре масс платформы перпендикулярно ее плоскости, удара равен S.
РЕШЕНИЕ
55.18 Две одинаковые материальные точки М1 и М2 массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а + Ь); натяжение нити равно p. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты.
РЕШЕНИЕ
55.19 Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны ρ1 и ρ2.
РЕШЕНИЕ
55.20 Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью (о вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке p1 и р2.
РЕШЕНИЕ
55.21 Круглый однородный диск радиуса r и массы M связан шарниром со стержнем OA длины l, могущим поворачиваться около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреплена материальная точка B массы m. Определить частоты свободных колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня OA.
РЕШЕНИЕ
55.22 На проволочную окружность радиуса R, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединенные пружиной жесткости c, имеющей в ненапряженном состоянии длину l0. Определить движение колечек, приняв их за материальные точки массы т. Принять, что в начальный момент φ1= 0, а колечко В отклонено от своего равновесного положения на величину дуги, равную 2Rβ. Начальные скорости колечек равны нулю.
РЕШЕНИЕ
55.23 Определить малые колебания математического маятника длины l и веса Р2, подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Р1, прикрепленному к пружине жесткости c. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропорциональное его скорости (b — коэффициент пропорциональности). Найти условия, при которых в случае b = 0 главные частоты данной системы будут равны между собой.
РЕШЕНИЕ
55.24 Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую точку подвеса O. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы т каждый, соединенные между собой пружиной жесткости c. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна l. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.
РЕШЕНИЕ
55.25 К движущейся по заданному закону ξ=ξ(t) платформе подвешена на пружине жесткости c1 механическая система, состоящая из массы m1, к которой жестко присоединен в точке B поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна m2, опирается на пружину жесткости c2, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; ρ — коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
РЕШЕНИЕ
55.26. Тяжелый однородный стержень длины l и массы m1 нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении с помощью пружины жесткости c. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии a, подвешен на нити длины r груз М массы m2. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могуг совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.27. Однородная балка AB длины l, массы m1 опирается в точке В на пружину жесткости c, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке E балки на расстоянии а от шарнира А на стержне длины r с помощью шарнира подвешен груз М массы m2. В положении равновесия балка AB горизонтальна. Найти уравнение малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.28 Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют величины J1 =875*103 кг*см2, J2 = 560*103 кг*см2, i1 =3020 кг*см2, i2 = 105 кг*см2, передаточное число k = z1/z2 = 5; жесткости валов при кручении c1 = 316X 107 Н*см, с2 = 115*107 Н*см; массами валов пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.29 Определить, пренебрегая массой зубчатых колес, частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче.
РЕШЕНИЕ
55.30 Найти частоты и формы главных поперечных колебании балки длины l, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной в точках x =1/3 и x=2/3l двумя равными грузами веса Q. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости E. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.31 Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины l, опертой по концам и несущей два груза Q1 = Q и Q2 = 0,5Q, равноудаленных от опор на расстояние l/3. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.32 Найти частоты главных колебаний двух одинаковых грузов Q, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на равных расстояниях l от ее опор. Балка длины 3l свободно лежит на двух опорах, отстоящих друг от друга на расстоянии l, момент инерции поперечного сечения балки J; модуль упругости E. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.33 Однородная прямоугольная пластинка массы m закреплена в конце А балки длины l, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебаний, если a=0,2l, b = 0,1l. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.34 К первому из двух первоначально неподвижных дисков, соединенных упругим валом жесткости c, внезапно приложен постоянный вращающий момент M; моменты инерции дисков J. Пренебрегая массой вала, определитьпоследующее движение системы.
РЕШЕНИЕ
55.35 Двухъярусная шарнирно-стержневая система удерживается в вертикальном положении тремя пружинами, как это показано на рисунке. Стержни абсолютна жесткие, однородные: вес на длину l равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными c1 = с2 = 10G/l, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы f1 и f2 главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь: l1=l2 = l.
РЕШЕНИЕ
55.36 Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой AB, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции поперечного сечения J, а модули упругости E балки и стоики одинаковы, определить частоты главных изгибных колебаний системы. Массами балки и стойки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.37 Фундамент машины массы m1= 102* 102 кг, установленный на упругом грунте, совершает вертикальные вынужденные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по закону F = 98 sin ωt кН. С целью устранения резонансных колебаний, обнаруживающихся при угловой скорости вала машины ω = 100 рад/с, на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать массу рамы m и суммарную жесткость пружин с2 гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при вышеуказанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колебаний гасителя не превосходила А=2 мм.
РЕШЕНИЕ
55.38 Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний диск возмущающего момента M=M0 sin pt.
РЕШЕНИЕ
55.39 Электромотор веса Q1 закреплен на упругом бетонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса Q2 с коэффициентом жесткости с2, установленном на жестком грунте. Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффициентом жесткости при изгибе c1; эксцентриситет ротора относительно вала r; угловая скорость вала ω. Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора.
РЕШЕНИЕ
55.40 В точке А балки AB (см. задачу 55.14) приложена сила F = F0 sin pt (Fо и p - постоянные), составляющая все время с нитью OA прямой угол и расположенная в плоскости движения балки. Какова должна быть длина b нитей, на которых подвешена балка CD, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки AB равнялась нулю?
РЕШЕНИЕ
55.41 Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс I и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью ω. Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения J1 и J2; момент инерции маятника относительно оси, параллельной оси вращения системы и проходящей через центр масс маятника, J3. Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника OA=l; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника, AC=a; масса маятника m. Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами k1. Ко второй массе приложен внешний момент M=M0 sin ωt. Написать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.
РЕШЕНИЕ
55.42 Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны сх, су, cz; момент инерции куба относительна главных центральных осей J. Составить уравнения малых колебаний и определить их частоты в случае сх = су. Масса бака равна М
РЕШЕНИЕ
55.43 Однородная горизонтальная прямоугольная пластина со сторонами а и b опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости c; масса пластины М. Определить частоты свободных колебаний.
РЕШЕНИЕ
55.44 Три железнодорожных груженых вагона веса Q1, Q2 и Q3 сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны k1 и k2. Найти частоты главных колебаний системы.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
55.2 Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на одном конце, с насаженными посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость на кручение участков вала k1=k2=k. Массой вала пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.3 Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одинаковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J; жесткость на кручение участков вала k1=k2=k. Массой вала пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.4 Два одинаковых маятника длины l и массы m каждый соединены на уровне h упругой пружиной жесткости k, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоскости равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на угол α от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников и массой пружины пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.5 Диск массы M может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен стержень длины l, на конце которого находится точечный груз массы m. Найти период малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.6 Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс дугой окружности радиуса R, найти частоты малых колебаний рассматриваемой системы.
РЕШЕНИЕ
55.7 Маятник состоит из ползуна массы M, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы m, соединенного с ползуном стержнем длины l, могущим вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жесткости k, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы.
РЕШЕНИЕ
55.8 Два одинаковых физических маятника подвешены на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников. Пренебрегая сопротивлением движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждого маятника P; радиус инерции его относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса, ρ; жесткость пружины k, расстояния от центра масс маятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равны соответственно l и h. (См. рисунок к задаче 55.4.)
РЕШЕНИЕ
55.9 Однородный стержень AB длины L подвешен при помощи нити длины l=0,5L к неподвижной точке. Пренебрегая массой нити, определить частоты главных колебаний системы и найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при первом и втором главных колебаниях.
РЕШЕНИЕ
55.10 Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения L/l, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длины l.
РЕШЕНИЕ
55.11 Считая в задаче 55.9, что длина нити весьма мала по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения l/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вращения поместить в конце стержня.
РЕШЕНИЕ
55.12 Определить частоты главных колебаний двойного математического маятника при условии, что массы грузов M1 и M2 соответственно равны m1 и m2, OM1=l1, M1M2=l2, а к грузу M1 присоединена пружина, массой которой можно пренебречь. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна l0, жесткость пружины k.
РЕШЕНИЕ
55.13 Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня O1O2 длины 2a и веса P1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси O1, и из однородного прямолинейного стержня AB веса P2, шарнирно соединенного в своем центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень O1O2 отклонен на угол φ0 от вертикали, а стержень AB занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.
РЕШЕНИЕ
55.14 Стержень AB веса P подвешен за концы A и B к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины a. К стержню AB подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины b балка CD веса Q. Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.15 Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средней вертикальной плоскости, если вес подрессоренной части вагона Q, расстояния центра масс от вертикальных плоскостей, проведенных через оси, l1=l2=l; радиус инерции относительно центральной оси, параллельной осям вагона, ρ; жесткость рессор для обеих осей одинакова: k1=k2=k.
РЕШЕНИЕ
55.16 Исследовать малые свободные колебания груженой платформы веса P, опирающейся в точках A и B на две рессоры одинаковой жесткости k. Центр масс C платформы с грузом находится на прямой AB, причем AC=a и CB=b. Платформа выведена из положения равновесия путем сообщения центру масс начальной скорости v0, направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен JC=0,1(a2+b2)P/g. Колебания происходят в вертикальной плоскости. За обобщенные координаты принять: y — отклонение центра масс от положения равновесия вниз, ψ — угол поворота платформы вокруг центра масс.
РЕШЕНИЕ
55.17 Платформа тележки опирается в точках А и В на две рессоры одинаковой жесткости c, расстояние между осями рессор AB = l; центр масс С платформы расположен на прямой AB, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии AC = a =l/3 от точки A (см. рисунок к задаче 55.16). Радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно прямой А В и лежащей в плоскости платформы, принять равным 0,2l; вес платформы равен Q. Найти малые колебания платформы, возникающие под действием удара, приложенного в центре масс платформы перпендикулярно ее плоскости, удара равен S.
РЕШЕНИЕ
55.18 Две одинаковые материальные точки М1 и М2 массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а + Ь); натяжение нити равно p. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты.
РЕШЕНИЕ
55.19 Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны ρ1 и ρ2.
РЕШЕНИЕ
55.20 Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью (о вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке p1 и р2.
РЕШЕНИЕ
55.21 Круглый однородный диск радиуса r и массы M связан шарниром со стержнем OA длины l, могущим поворачиваться около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреплена материальная точка B массы m. Определить частоты свободных колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня OA.
РЕШЕНИЕ
55.22 На проволочную окружность радиуса R, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединенные пружиной жесткости c, имеющей в ненапряженном состоянии длину l0. Определить движение колечек, приняв их за материальные точки массы т. Принять, что в начальный момент φ1= 0, а колечко В отклонено от своего равновесного положения на величину дуги, равную 2Rβ. Начальные скорости колечек равны нулю.
РЕШЕНИЕ
55.23 Определить малые колебания математического маятника длины l и веса Р2, подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Р1, прикрепленному к пружине жесткости c. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропорциональное его скорости (b — коэффициент пропорциональности). Найти условия, при которых в случае b = 0 главные частоты данной системы будут равны между собой.
РЕШЕНИЕ
55.24 Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую точку подвеса O. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы т каждый, соединенные между собой пружиной жесткости c. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна l. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.
РЕШЕНИЕ
55.25 К движущейся по заданному закону ξ=ξ(t) платформе подвешена на пружине жесткости c1 механическая система, состоящая из массы m1, к которой жестко присоединен в точке B поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна m2, опирается на пружину жесткости c2, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; ρ — коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
РЕШЕНИЕ
55.26. Тяжелый однородный стержень длины l и массы m1 нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении с помощью пружины жесткости c. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии a, подвешен на нити длины r груз М массы m2. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могуг совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.27. Однородная балка AB длины l, массы m1 опирается в точке В на пружину жесткости c, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке E балки на расстоянии а от шарнира А на стержне длины r с помощью шарнира подвешен груз М массы m2. В положении равновесия балка AB горизонтальна. Найти уравнение малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.28 Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют величины J1 =875*103 кг*см2, J2 = 560*103 кг*см2, i1 =3020 кг*см2, i2 = 105 кг*см2, передаточное число k = z1/z2 = 5; жесткости валов при кручении c1 = 316X 107 Н*см, с2 = 115*107 Н*см; массами валов пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.29 Определить, пренебрегая массой зубчатых колес, частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче.
РЕШЕНИЕ
55.30 Найти частоты и формы главных поперечных колебании балки длины l, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной в точках x =1/3 и x=2/3l двумя равными грузами веса Q. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости E. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.31 Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины l, опертой по концам и несущей два груза Q1 = Q и Q2 = 0,5Q, равноудаленных от опор на расстояние l/3. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.32 Найти частоты главных колебаний двух одинаковых грузов Q, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на равных расстояниях l от ее опор. Балка длины 3l свободно лежит на двух опорах, отстоящих друг от друга на расстоянии l, момент инерции поперечного сечения балки J; модуль упругости E. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.33 Однородная прямоугольная пластинка массы m закреплена в конце А балки длины l, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебаний, если a=0,2l, b = 0,1l. Массой балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.34 К первому из двух первоначально неподвижных дисков, соединенных упругим валом жесткости c, внезапно приложен постоянный вращающий момент M; моменты инерции дисков J. Пренебрегая массой вала, определитьпоследующее движение системы.
РЕШЕНИЕ
55.35 Двухъярусная шарнирно-стержневая система удерживается в вертикальном положении тремя пружинами, как это показано на рисунке. Стержни абсолютна жесткие, однородные: вес на длину l равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными c1 = с2 = 10G/l, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы f1 и f2 главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь: l1=l2 = l.
РЕШЕНИЕ
55.36 Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой AB, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции поперечного сечения J, а модули упругости E балки и стоики одинаковы, определить частоты главных изгибных колебаний системы. Массами балки и стойки пренебречь.
РЕШЕНИЕ
55.37 Фундамент машины массы m1= 102* 102 кг, установленный на упругом грунте, совершает вертикальные вынужденные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по закону F = 98 sin ωt кН. С целью устранения резонансных колебаний, обнаруживающихся при угловой скорости вала машины ω = 100 рад/с, на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать массу рамы m и суммарную жесткость пружин с2 гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при вышеуказанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колебаний гасителя не превосходила А=2 мм.
РЕШЕНИЕ
55.38 Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний диск возмущающего момента M=M0 sin pt.
РЕШЕНИЕ
55.39 Электромотор веса Q1 закреплен на упругом бетонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса Q2 с коэффициентом жесткости с2, установленном на жестком грунте. Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффициентом жесткости при изгибе c1; эксцентриситет ротора относительно вала r; угловая скорость вала ω. Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора.
РЕШЕНИЕ
55.40 В точке А балки AB (см. задачу 55.14) приложена сила F = F0 sin pt (Fо и p - постоянные), составляющая все время с нитью OA прямой угол и расположенная в плоскости движения балки. Какова должна быть длина b нитей, на которых подвешена балка CD, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки AB равнялась нулю?
РЕШЕНИЕ
55.41 Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс I и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью ω. Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения J1 и J2; момент инерции маятника относительно оси, параллельной оси вращения системы и проходящей через центр масс маятника, J3. Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника OA=l; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника, AC=a; масса маятника m. Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами k1. Ко второй массе приложен внешний момент M=M0 sin ωt. Написать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.
РЕШЕНИЕ
55.42 Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны сх, су, cz; момент инерции куба относительна главных центральных осей J. Составить уравнения малых колебаний и определить их частоты в случае сх = су. Масса бака равна М
РЕШЕНИЕ
55.43 Однородная горизонтальная прямоугольная пластина со сторонами а и b опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости c; масса пластины М. Определить частоты свободных колебаний.
РЕШЕНИЕ
55.44 Три железнодорожных груженых вагона веса Q1, Q2 и Q3 сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны k1 и k2. Найти частоты главных колебаний системы.
РЕШЕНИЕ
55.45 При условиях предыдущей задачи найти уравнения движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая вагонов равного веса Q1 = Q2 = Q3 = Q, соединенных сцепками одинаковой жесткости с1= с2 = c. В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия, а крайний правый вагон отклонен на х0 от положения равновесия.
РЕШЕНИЕ
55.46 Найти частоты и формы главных колебаний системы, состоящей из трех одинаковых масс m, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку считать свободно положенной на опоры; длина балки l, момент инерции поперечного сечения J, модуль упругости E.
РЕШЕНИЕ
55.47 Система n одинаковых масс m, соединенных пружинами жесткости c, образует механический фильтр для продольных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой массы x = x0sinωt, показать, что система является фильтром низких частот, т. е. что после перехода частоты ω через определенную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода - по гармоническому.
РЕШЕНИЕ
55.48 Фильтр крутильных колебаний схематизируется в виде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая заданным закон движения левого диска в форме θ = θ0 sin ωt, определить вынужденные колебания системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков J, жесткости участков вала между дисками одинаковы и равны c. Исследовать полученное решение и показать, что система является фильтром низких частот.
РЕШЕНИЕ
55.49 Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из которых образовано массой m, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости c. Параллельно с этой пружиной к массе присоединена пружина жесткости c1, связывающая массу т с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы x = x0 sin ωt задан. Показать, что при значениях ω, лежащих в определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс изменяются с расстоянием по гармоническому закону. Найти соответствующие граничные частоты.
РЕШЕНИЕ
55.50 Система большого числа масс m, насаженных на расстоянии а друг от друга на струну АB, натянутую с усилием Т, и поддерживаемых пружинами жесткости c, является полосовым механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить частоты, отвечающие границам полосы пропускания.
РЕШЕНИЕ
55.51 Нить длины nl подвешена вертикально за один конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга n материальными точками с массами m. Составить уравнения движения. Найти для n = 3 частоты поперечных колебаний нити.
РЕШЕНИЕ
55.52 Определить частоты свободных поперечных колебаний натянутой нити с закрепленными концами, несущей на себе n масс m, отстоящих друг от друга на расстояниях l Натяжение нити Р.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
55.46 Найти частоты и формы главных колебаний системы, состоящей из трех одинаковых масс m, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку считать свободно положенной на опоры; длина балки l, момент инерции поперечного сечения J, модуль упругости E.
РЕШЕНИЕ
55.47 Система n одинаковых масс m, соединенных пружинами жесткости c, образует механический фильтр для продольных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой массы x = x0sinωt, показать, что система является фильтром низких частот, т. е. что после перехода частоты ω через определенную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода - по гармоническому.
РЕШЕНИЕ
55.48 Фильтр крутильных колебаний схематизируется в виде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая заданным закон движения левого диска в форме θ = θ0 sin ωt, определить вынужденные колебания системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков J, жесткости участков вала между дисками одинаковы и равны c. Исследовать полученное решение и показать, что система является фильтром низких частот.
РЕШЕНИЕ
55.49 Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из которых образовано массой m, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости c. Параллельно с этой пружиной к массе присоединена пружина жесткости c1, связывающая массу т с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы x = x0 sin ωt задан. Показать, что при значениях ω, лежащих в определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс изменяются с расстоянием по гармоническому закону. Найти соответствующие граничные частоты.
РЕШЕНИЕ
55.50 Система большого числа масс m, насаженных на расстоянии а друг от друга на струну АB, натянутую с усилием Т, и поддерживаемых пружинами жесткости c, является полосовым механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить частоты, отвечающие границам полосы пропускания.
РЕШЕНИЕ
55.51 Нить длины nl подвешена вертикально за один конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга n материальными точками с массами m. Составить уравнения движения. Найти для n = 3 частоты поперечных колебаний нити.
РЕШЕНИЕ
55.52 Определить частоты свободных поперечных колебаний натянутой нити с закрепленными концами, несущей на себе n масс m, отстоящих друг от друга на расстояниях l Натяжение нити Р.
РЕШЕНИЕ