Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.
Кинематика :
Кинематика точки
§ 10. Траектория и уравнения движения точки
Задачи по теме
10.1 По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь σ за указанный промежуток времени (s и σ — в сантиметрах, t — в секундах). 1) s = 5 - 4t + t2, 0 ≤ t ≤ 5. 2) s = 1 + 2t - t2, 0 ≤ t ≤ 2,5. 3) s = 4 sin 10t, π/20 ≤ t ≤ Зπ/10.
РЕШЕНИЕ
10.2 По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x = 3t - 5, y = 4 - 2t. 2) x = 2t, y = 8t2. 3) x = 5 sin 10t, y = 3 cos 10t. 4) x = 2 - 3 cos 5t, y = 4 sin 5t - 1. 5) x = ch t = 1/2 (et + e-t), y = sh t = 1/2 (et - e-t).
РЕШЕНИЕ
10.3 Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (r0 и e — постоянные заданные векторы, i и j — координатные орты). 1) r = r0 + t*e. 2) r = r0 + cos t*e. 3) r = ai cos(π/(1+t2)) + bj sin (π/(1+t2)).
РЕШЕНИЕ
10.4 По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) x = 3t2, y = 4t2. 2) x = 3 sin t, y = 3 cos t. 3) x = a cos2 t, y = a sin2 t. 4) x = 5 cos 5t2, y = 5 sin 5t2.
РЕШЕНИЕ
10.5 Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x=t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y=1,5t (x и y — в метрах, t — в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.
РЕШЕНИЕ
10.6 Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x=3 sin t, y=2 cos 2t (t — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t1, когда траектория пересечет ось Ox.
РЕШЕНИЕ
10.7 При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами x=a sin kt, y=a cos kt, z=vt, где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.
РЕШЕНИЕ
10.8 Гармонические колебания точки определяются законом x=a sin(kt+ε), где a > 0 — амплитуда колебаний, k > 0 — круговая частота колебаний и ε (-π ≤ ε ≤ π) — начальная фаза. Определить центр колебаний a0, амплитуду, круговую частоту, период T, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (x — в сантиметрах, f — в секундах): 1) x = -7 cos 12t. 2) x = 4 sin (πt/20) - 3 cos (πt/20). 3) x = 2 - 4 sin 140t. 4) x = 6 sin2 18t. 5) x = 1 - 4 cos2 (πt/60).
РЕШЕНИЕ
10.9 Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению x=a sin(kt+Зπ/2), где a — в сантиметрах, k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент x0=-4 см. Построить также кривую расстояний.
РЕШЕНИЕ
10.10 Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: x=a sin(kt+α), y=b sin(kt+β).
РЕШЕНИЕ
10.11 Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) x = a sin 2ωt, y = a sin ωt; 2) x = a cos 2ωt, y = a cos ωt.
РЕШЕНИЕ
10.12 Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с. Длина OA=AB=80 см. Найти уравнения движения и траекторию средней точки M шатуна, а также уравнение движения ползуна B, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координат указаны на рисунке.
РЕШЕНИЕ
10.13 Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R=1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ox.
РЕШЕНИЕ
10.14 Даны уравнения движения снаряда x = v0 cos α t, y = v0 sin α t - gt2/2, где v0 — начальная скорость снаряда, α — угол между v0 и горизонтальной осью x, g — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту H, дальность L и время T полета снаряда.
РЕШЕНИЕ
10.15 В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания α дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.
РЕШЕНИЕ
10.16 В условиях задачи 10.14 определить угол бросания α, при котором снаряд попадает в точку A с координатами x и y.
РЕШЕНИЕ
10.17 Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости v0 и любом угле бросания α).
РЕШЕНИЕ
10.18 Точка движется по винтовой линии x = a cos kt, y = a sin kt, z = vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.
РЕШЕНИЕ
10.19 Даны уравнения движения точки: x = 2a cos2(kt/2), y = a sin kt, где a и k — положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
РЕШЕНИЕ
10.20 В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.
РЕШЕНИЕ
10.21 По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах x = R cos2 (kt/2), y = (R/2) sin (kt), z = R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.
РЕШЕНИЕ
10.22 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид x = Ae-ht cos(kt + ε), y = Ae-ht sin(kt + ε), где A > 0, h > 0, k > 0 и ε — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.
РЕШЕНИЕ
10.23 Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата rC=rC(t), φC=φC(t). Найти: 1) законы изменения углов ψ1 и ψ2, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси y, отстоящей от нее на расстоянии a по закону y=s(t), где s — заданная функция времени t.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
10.2 По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x = 3t - 5, y = 4 - 2t. 2) x = 2t, y = 8t2. 3) x = 5 sin 10t, y = 3 cos 10t. 4) x = 2 - 3 cos 5t, y = 4 sin 5t - 1. 5) x = ch t = 1/2 (et + e-t), y = sh t = 1/2 (et - e-t).
РЕШЕНИЕ
10.3 Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (r0 и e — постоянные заданные векторы, i и j — координатные орты). 1) r = r0 + t*e. 2) r = r0 + cos t*e. 3) r = ai cos(π/(1+t2)) + bj sin (π/(1+t2)).
РЕШЕНИЕ
10.4 По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) x = 3t2, y = 4t2. 2) x = 3 sin t, y = 3 cos t. 3) x = a cos2 t, y = a sin2 t. 4) x = 5 cos 5t2, y = 5 sin 5t2.
РЕШЕНИЕ
10.5 Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x=t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y=1,5t (x и y — в метрах, t — в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.
РЕШЕНИЕ
10.6 Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x=3 sin t, y=2 cos 2t (t — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t1, когда траектория пересечет ось Ox.
РЕШЕНИЕ
10.7 При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами x=a sin kt, y=a cos kt, z=vt, где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.
РЕШЕНИЕ
10.8 Гармонические колебания точки определяются законом x=a sin(kt+ε), где a > 0 — амплитуда колебаний, k > 0 — круговая частота колебаний и ε (-π ≤ ε ≤ π) — начальная фаза. Определить центр колебаний a0, амплитуду, круговую частоту, период T, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (x — в сантиметрах, f — в секундах): 1) x = -7 cos 12t. 2) x = 4 sin (πt/20) - 3 cos (πt/20). 3) x = 2 - 4 sin 140t. 4) x = 6 sin2 18t. 5) x = 1 - 4 cos2 (πt/60).
РЕШЕНИЕ
10.9 Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению x=a sin(kt+Зπ/2), где a — в сантиметрах, k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент x0=-4 см. Построить также кривую расстояний.
РЕШЕНИЕ
10.10 Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: x=a sin(kt+α), y=b sin(kt+β).
РЕШЕНИЕ
10.11 Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) x = a sin 2ωt, y = a sin ωt; 2) x = a cos 2ωt, y = a cos ωt.
РЕШЕНИЕ
10.12 Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с. Длина OA=AB=80 см. Найти уравнения движения и траекторию средней точки M шатуна, а также уравнение движения ползуна B, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координат указаны на рисунке.
РЕШЕНИЕ
10.13 Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R=1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ox.
РЕШЕНИЕ
10.14 Даны уравнения движения снаряда x = v0 cos α t, y = v0 sin α t - gt2/2, где v0 — начальная скорость снаряда, α — угол между v0 и горизонтальной осью x, g — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту H, дальность L и время T полета снаряда.
РЕШЕНИЕ
10.15 В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания α дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.
РЕШЕНИЕ
10.16 В условиях задачи 10.14 определить угол бросания α, при котором снаряд попадает в точку A с координатами x и y.
РЕШЕНИЕ
10.17 Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости v0 и любом угле бросания α).
РЕШЕНИЕ
10.18 Точка движется по винтовой линии x = a cos kt, y = a sin kt, z = vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.
РЕШЕНИЕ
10.19 Даны уравнения движения точки: x = 2a cos2(kt/2), y = a sin kt, где a и k — положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
РЕШЕНИЕ
10.20 В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.
РЕШЕНИЕ
10.21 По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах x = R cos2 (kt/2), y = (R/2) sin (kt), z = R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.
РЕШЕНИЕ
10.22 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид x = Ae-ht cos(kt + ε), y = Ae-ht sin(kt + ε), где A > 0, h > 0, k > 0 и ε — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.
РЕШЕНИЕ
10.23 Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата rC=rC(t), φC=φC(t). Найти: 1) законы изменения углов ψ1 и ψ2, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси y, отстоящей от нее на расстоянии a по закону y=s(t), где s — заданная функция времени t.
РЕШЕНИЕ