§ 23. Объемы и поверхности тел вращения.
Задачи из учебного пособия: Погорелов, Геометрия 11 класс, 2001 г.

1. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3)
РЕШЕНИЕ

2. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
РЕШЕНИЕ

3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в n раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в n раз?
РЕШЕНИЕ

4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
РЕШЕНИЕ

5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно a
РЕШЕНИЕ

6. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3 ) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?
РЕШЕНИЕ

7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.
РЕШЕНИЕ

8. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.
РЕШЕНИЕ

9. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания — с. Найдите объем конуса.
РЕШЕНИЕ

10. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем конуса.
РЕШЕНИЕ

11. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
РЕШЕНИЕ

12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
РЕШЕНИЕ

13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a. Найдите объем полученного тела вращения.
РЕШЕНИЕ

14. Прямоугольный треугольник с катетами A и B вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела вращения.
РЕШЕНИЕ

15. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R1 и R2 (R1 < R2), а высота h.
РЕШЕНИЕ

16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?
РЕШЕНИЕ

17. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.
РЕШЕНИЕ

18. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и r. Найдите объем этого конуса.
РЕШЕНИЕ

19. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, и равновеликий цилиндр имеют одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра?
РЕШЕНИЕ

20. По данным радиусам оснований R и r определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса
РЕШЕНИЕ

21. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
РЕШЕНИЕ

22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметром 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
РЕШЕНИЕ

23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)?
РЕШЕНИЕ

24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено ?
РЕШЕНИЕ

25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
РЕШЕНИЕ

26. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?
РЕШЕНИЕ

27. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делят его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
РЕШЕНИЕ

28. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
РЕШЕНИЕ

29. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
РЕШЕНИЕ

30. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра.
РЕШЕНИЕ

31. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см.
РЕШЕНИЕ

32. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
РЕШЕНИЕ

33. Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?
РЕШЕНИЕ

34. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
РЕШЕНИЕ

35. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
РЕШЕНИЕ

36. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?
РЕШЕНИЕ

37. Шар радиусом 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.
РЕШЕНИЕ

38. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепки уходит 10% материала?
РЕШЕНИЕ

39. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м в длину и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
РЕШЕНИЕ

40. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
РЕШЕНИЕ

41. В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения M. Чему равна полная поверхность цилиндра?
РЕШЕНИЕ

42. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
РЕШЕНИЕ

43. Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
РЕШЕНИЕ

44. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность конуса
РЕШЕНИЕ

45. Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?
РЕШЕНИЕ

46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
РЕШЕНИЕ

47. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
РЕШЕНИЕ

48. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
РЕШЕНИЕ

49. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор , у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца — 0,036 м и образующая — 1,42 м?
РЕШЕНИЕ

50. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
РЕШЕНИЕ