§ 22. Объемы многогранников.
Задачи из учебного пособия: Погорелов, Геометрия 11 класс, 2001 г.

1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
РЕШЕНИЕ

2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
РЕШЕНИЕ

3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличивается на 98 см3. Чему равно ребро куба?
РЕШЕНИЕ

4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
РЕШЕНИЕ

5. Кирпич размером 25х12х6,5 имеет массу 3,51кг. Найдите его плотность.
РЕШЕНИЕ

6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5 м х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
РЕШЕНИЕ

7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
РЕШЕНИЕ

8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на X сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится объем?
РЕШЕНИЕ

9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса погонного метра трубы (плотность чугуна 73 г/см3)?
РЕШЕНИЕ

10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью — угол β?
РЕШЕНИЕ

11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
РЕШЕНИЕ

12. В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ равна 7 см. Найдите его объем.
РЕШЕНИЕ

13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2 Найдите объем параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N. В основании лежит ромб.
РЕШЕНИЕ

15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

16. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

17. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

19. По стороне основания a и боковому ребру b найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
РЕШЕНИЕ

20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см. и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
РЕШЕНИЕ

21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ

22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
РЕШЕНИЕ

23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ

24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.
РЕШЕНИЕ

25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ

26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения воды 2 м/с.
РЕШЕНИЕ

27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижнем основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
РЕШЕНИЕ

28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ

29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней — 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
РЕШЕНИЕ

30. Основание призмы треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
РЕШЕНИЕ

31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной a; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ

32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами α и β и острый угол между диагоналями равен γ ?
РЕШЕНИЕ

33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной, 2) четырехугольной, 3) шестиугольной.
РЕШЕНИЕ

34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно b. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

36. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
РЕШЕНИЕ

37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
РЕШЕНИЕ

38. По ребру a октаэдра найдите его объем.
РЕШЕНИЕ

39. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

40. Основание пирамиды равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно l и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы α и β. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

43. Найдите объем пирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которого α и β; радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом γ.
РЕШЕНИЕ

44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадью оснований Q1 и Q2 (Q1 > Q2) и высотой h.
РЕШЕНИЕ

45. В пирамиде с площадью основания Q1 проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения Q2 Найдите высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ

47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
РЕШЕНИЕ

48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
РЕШЕНИЕ

49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
РЕШЕНИЕ