§ 20. Многогранники.
Задачи из учебного пособия: Погорелов, Геометрия 11 класс, 2001 г.

1. Из точек А и В в гранях двугранного угла опущены перпендикуляры AA1 и BB2 на ребро угла. Найдите длину отрезка AB, если AA1=а, BB1=b1 A1B1=с и двугранный угол равен α1
РЕШЕНИЕ

2. У трехгранного угла (аbс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен φ, а плоский угол (bс) равен γ (φ,γ < π/2). Найдите два других плоских угла α = ∠ (ab), β = ∠ (ac)
РЕШЕНИЕ

3. У трехгранного угла один плоский угол равен γ, а прилегающие к нему двугранные углы равны φ (φ < π/2). Найдите два других плоских угла α и угол β, который образует плоскость угла γ с противолежащим ребром.
РЕШЕНИЕ

4. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны α, а третий угол равен γ. Найдите двугранные углы φ, противолежащие плоским углам α, и угол β между плоскостью γ и противолежащим ребром
РЕШЕНИЕ

5. Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям
РЕШЕНИЕ

6. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?
РЕШЕНИЕ

7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания
РЕШЕНИЕ

8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы
РЕШЕНИЕ

9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания
РЕШЕНИЕ

10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы — 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро, и меньшую высоту основания
РЕШЕНИЕ

11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы
РЕШЕНИЕ

12. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром
РЕШЕНИЕ

13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений
РЕШЕНИЕ

14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения
РЕШЕНИЕ

15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы
РЕШЕНИЕ

16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
РЕШЕНИЕ

17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
РЕШЕНИЕ

18. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q Найдите площадь диагонального сечения.
РЕШЕНИЕ

19. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота равна 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
РЕШЕНИЕ

20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
РЕШЕНИЕ

21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность — 40 м2. Найдите высоту.
РЕШЕНИЕ

22. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l
РЕШЕНИЕ

23. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра — 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
РЕШЕНИЕ

24. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
РЕШЕНИЕ

25. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45. Сторона основания l. Найдите боковую поверхность призмы
РЕШЕНИЕ

26. У параллелепипеда три грани имеют поверхности 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда
РЕШЕНИЕ

27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине
РЕШЕНИЕ

28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
РЕШЕНИЕ

29. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

30. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
РЕШЕНИЕ

31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°
РЕШЕНИЕ

32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно α, а угол основания равен 60°
РЕШЕНИЕ

33. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда
РЕШЕНИЕ

34. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
РЕШЕНИЕ

35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
РЕШЕНИЕ

36. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины
РЕШЕНИЕ

37. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами a1 = 7 дм и a2 = 24 дм.
РЕШЕНИЕ

38. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
РЕШЕНИЕ

39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М
РЕШЕНИЕ

40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, b и с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

43. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом α. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
РЕШЕНИЕ

44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол β. Найдите ее высоту.
РЕШЕНИЕ

45. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

46. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей. Она равна 4 см. Найти боковое ребро пирамиды
РЕШЕНИЕ

47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечений диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
РЕШЕНИЕ

48. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
РЕШЕНИЕ

49. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота — 21 дм.
РЕШЕНИЕ

50. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании.
РЕШЕНИЕ

51. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре.
РЕШЕНИЕ

52. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер.
РЕШЕНИЕ

53. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
РЕШЕНИЕ

54. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади оснований.
РЕШЕНИЕ

55. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2
РЕШЕНИЕ

56. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
РЕШЕНИЕ

57. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания — 8 см. Найдите боковое ребро.
РЕШЕНИЕ

58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Найдите двугранный угол x при основании пирамиды.
РЕШЕНИЕ

59. По данной стороне a и боковому ребру b найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
РЕШЕНИЕ

60. По данной стороне основания а и высоте b найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
РЕШЕНИЕ

61. По стороне основания а и высоте b найдите полную поверхность правильной пирамиды:
РЕШЕНИЕ

62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро a, а радиус окружности, вписанной в основание, r.
РЕШЕНИЕ

63. В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность — 18 м2 Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

64. По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
РЕШЕНИЕ

65. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Q, а двугранные углы при основании φ.
РЕШЕНИЕ

66. Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.
РЕШЕНИЕ

67. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
РЕШЕНИЕ

68. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2
РЕШЕНИЕ

69. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
РЕШЕНИЕ

70. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
РЕШЕНИЕ

71. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
РЕШЕНИЕ

72. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований — 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
РЕШЕНИЕ

73. Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.
РЕШЕНИЕ

74. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания a, сторона меньшего b. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.
РЕШЕНИЕ

75. Высота правильной четырехгранной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.
РЕШЕНИЕ

76. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижнем основанием
РЕШЕНИЕ

77. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
РЕШЕНИЕ

78. Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота h, а стороны оснований а и b.
РЕШЕНИЕ

79. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
РЕШЕНИЕ

80. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
РЕШЕНИЕ

81. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
РЕШЕНИЕ

82. Найдите двугранные углы октаэдра.
РЕШЕНИЕ

83. Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр
РЕШЕНИЕ

84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
РЕШЕНИЕ