§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве.
Задачи из: решебник Погорелов 10 класс, 2001 г.

1. Где лежат те точки пространства, для которых координаты x и y равны нулю?
РЕШЕНИЕ

2. Даны точки A(1;2;3), B(0;1;2), C(0;0;3), D(1;2;0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости xy; 2) на оси z; 3) в плоскости yz?
РЕШЕНИЕ

3. Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
РЕШЕНИЕ

4. Найдите расстояния от точки (1;2;-3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.
РЕШЕНИЕ

5. В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0).
РЕШЕНИЕ

6. Найдите точки, равноотстоящие от точек (0;0;1), (0;1;0), (1;0;0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
РЕШЕНИЕ

7. На оси x найдите точку C(х;0;0), равноудаленную от двух точек A(1;2;3), B(-2;1;3).
РЕШЕНИЕ

8. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки A(1;2;3) и начала координат.
РЕШЕНИЕ

9. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(1;3;2), B(0;2;4), C(1;1;4), D(2;2;2) является параллелограммом.
РЕШЕНИЕ

10. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1) A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5); 2) А(2;1; 3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1).
РЕШЕНИЕ

11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) A(6;7;8), B(8;2;6), C(4;3;2), D(2;8;4); 2) А(0;2;0), В(1;0;0), С(2;0;2), D(1;2;2).
РЕШЕНИЕ

12. Даны один конец отрезка A(2;3;-1) и его середина C(1;1;1). Найдите второй конец отрезка B(х;y;z).
РЕШЕНИЕ

13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны: 1) A(2;3;2), B(0;2;4), C(4;1;0); 2) A(1;-1;0), B(0;1;-1), C(-1;0;1); 3) A(4;2;-1), B(1;-3;2), C(-4;2;1).
РЕШЕНИЕ

14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках A(a;c;-b) и B(-a;d;b) лежит на оси y
РЕШЕНИЕ

15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках C(a;b;c) и D(p;q;-c) лежит в плоскости xy.
РЕШЕНИЕ

16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости xy задается формулами x = x, y = y, z = -z.
РЕШЕНИЕ

17. Даны точки (1;2;3), (0;-1;2), (1;0;-3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
РЕШЕНИЕ

18. Даны точки (1;2;3), (0;—1;2), (1;0;—3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
РЕШЕНИЕ

19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
РЕШЕНИЕ

20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
РЕШЕНИЕ

21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
РЕШЕНИЕ

22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.
РЕШЕНИЕ

23. Найдите значения a, b, c в формулах параллельного переноса x = x + а, y = y + b, z = z + c, если при этом параллельном переносе точка A(1;0;2) переходит в точку А (2;1;0).
РЕШЕНИЕ

24. При параллельном переносе точка A(2;1;-1) переходит в точку A(1;-1;0). В какую точку переходит начало координат?
РЕШЕНИЕ

25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку B, а точка C — в точку D, если: 1) A(2;1;0), B(1;0;1), C(3; -2;1), D(2;-3;0); 2) A(-2;3;5), B(1;2;4), C(4;-3;6), D(7;-2;5); 3) A(0;1;2), B(-1;0;1), C(3;-2;2), D(2;-3;1) 4) A(1;1;0), B(0;0;0), C(-2;2;1), D(1;1;1)
РЕШЕНИЕ

26. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.
РЕШЕНИЕ

27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 совмещаются параллельным переносом.
РЕШЕНИЕ

28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.
РЕШЕНИЕ

29. Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках A, B, C, а параллельную ей плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 гомотетичны.
РЕШЕНИЕ

30. Прямая a лежит в плоскости α, а прямая b перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми a и b?
РЕШЕНИЕ

31. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми CA и CB, если эти прямые образуют углы α и β с прямой AB и α + β < 90°?
РЕШЕНИЕ

32. Прямые a, b, c параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми b и c, если углы этих прямых с прямой а равны 60° и 80°?
РЕШЕНИЕ

33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
РЕШЕНИЕ

34. 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
РЕШЕНИЕ

35. Точка A отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
РЕШЕНИЕ

36. Наклонная равна a. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
РЕШЕНИЕ

37. Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
РЕШЕНИЕ

38. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.
РЕШЕНИЕ

39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
РЕШЕНИЕ

40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
РЕШЕНИЕ

41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
РЕШЕНИЕ

42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
РЕШЕНИЕ

43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка A, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние a. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
РЕШЕНИЕ

44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
РЕШЕНИЕ

45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
РЕШЕНИЕ

46. Равнобедренные треугольники ABC и ABD с общим основанием AB лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cosα, если: 1) AB = 24 см, AC = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см; 2) AB = 32 см, AC = 65 см, AD = 20 см, CD = 63 см
РЕШЕНИЕ

47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
РЕШЕНИЕ

48. Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
РЕШЕНИЕ

49. 1) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника ABC из задачи 46 на плоскость треугольника ABD. 2) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника ABD из задачи 46 на плоскость треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ

50. Даны четыре точки A(2;7;-3), B(1;0;3), C(-3;-4;5), D(-2;3;-1). Найдите среди векторов AB, BC , DC, AD, AC и BD равные векторы.
РЕШЕНИЕ

51. Даны три точки A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найдите точку D(x;y;z), если векторы AB и CD равны.
РЕШЕНИЕ

52. Найдите D(x;y;z), если сумма векторов AB и CD равна нулю. A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1).
РЕШЕНИЕ

53. Даны векторы (2, n,3) и (3,2,m). При каких m и n эти векторы коллинеарны?
РЕШЕНИЕ

54. Дан вектор a(1;2;3), найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке A(1;1;1) и B на плоскости xy.
РЕШЕНИЕ

55. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: 1) a(2;-1;3), b (1;3;n); 2) a(n;-2;1), b(n;-n;1): 3) a (n;-2;1), b(n;2n;4): 4) a (4:2n;-1), b (—1 ;1;n)?
РЕШЕНИЕ

56. Даны три точки A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;с), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
РЕШЕНИЕ

57. Векторы a и b образуют угол 60°, а вектор c им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора a + b + c
РЕШЕНИЕ

58. Векторы a, b , c единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами: 1) a и b+c; 2) a и b-c
РЕШЕНИЕ

59. Даны четыре точки A(0;1;-1), B(1;-1;2), C(3;1;0), D(2;-3;1). Найдите косинус угла φ между векторами AB и CD.
РЕШЕНИЕ

60. Даны три точки A(0;1;-1), B(1;-1;2), C(3;1;0). Найдите косинус угла C треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ

61. Докажите, что угол φ между прямыми, содержащими векторы a и b , определяется из уравнения: |ab| = | a| * | b | * cosφ.
РЕШЕНИЕ

62. Из вершины прямого угла A треугольника ABC восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла φ между векторами BC и BD, если угол ABD равен α, а угол АВС равен β.
РЕШЕНИЕ

63. Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол φ между этой прямой и наклонной.
РЕШЕНИЕ

64. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы α с перпендикуляром. найдите угол φ между проекциями наклонных, если угол между наклонными β.
РЕШЕНИЕ