§ 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Задачи из: решебник Погорелов 10 класс, 2001 г.

1. Докажите. что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
РЕШЕНИЕ

2. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
РЕШЕНИЕ

3. Прямые AB, AC и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если: 1) AB = 3 см, BC = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, BC = 16 см, AD = 5 см; 3) AB = b, DC = а, AD = d; 4) BD = с, BC = а, AD = d.
РЕШЕНИЕ

4. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника A1B1C1D1 соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
РЕШЕНИЕ

5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной этой плоскости.
РЕШЕНИЕ

6. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершины треугольника.
РЕШЕНИЕ

7. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок AK.
РЕШЕНИЕ

8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АС = а, BC = b, AD = с.
РЕШЕНИЕ

9. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
РЕШЕНИЕ

10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.
РЕШЕНИЕ

11. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
РЕШЕНИЕ

12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.
РЕШЕНИЕ

13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых AB и BM; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых BC и BM.
РЕШЕНИЕ

14. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками A и B, если AC = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок AB не пересекает плоскость α.
РЕШЕНИЕ

15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.
РЕШЕНИЕ

16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
РЕШЕНИЕ

17. Точка A находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной a. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.
РЕШЕНИЕ

18. Из точки S вне плоскости α проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра O является центром окружности, описанной около треугольника ABC.
РЕШЕНИЕ

19. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.
РЕШЕНИЕ

20. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
РЕШЕНИЕ

21. Расстояния от точки A до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.
РЕШЕНИЕ

22. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
РЕШЕНИЕ

23. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
РЕШЕНИЕ

24. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если:1) одна на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
РЕШЕНИЕ

25. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.
РЕШЕНИЕ

26. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
РЕШЕНИЕ

27. Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекция катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
РЕШЕНИЕ

28. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции этих сторон.
РЕШЕНИЕ

29. Из концов отрезка AB, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку AB. Чему равно расстояние CD, если AB = а, AC = b, BD = с?
РЕШЕНИЕ

30. Докажите, что расстояние от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
РЕШЕНИЕ

31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
РЕШЕНИЕ

32. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
РЕШЕНИЕ

33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
РЕШЕНИЕ

34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
РЕШЕНИЕ

35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
РЕШЕНИЕ

36. Найдите расстояние от середины отрезка AB до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек A и B до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b.
РЕШЕНИЕ

37. Решите предыдущую задачу, считая. что отрезок AB пересекает плоскость.
РЕШЕНИЕ

38. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
РЕШЕНИЕ

39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстающая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n.
РЕШЕНИЕ

40. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
РЕШЕНИЕ

41. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.
РЕШЕНИЕ

42. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
РЕШЕНИЕ

43. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 м. найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
РЕШЕНИЕ

44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
РЕШЕНИЕ

45. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
РЕШЕНИЕ

46. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
РЕШЕНИЕ

47. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
РЕШЕНИЕ

48. Из вершины равностороннего треугольника ABC восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны BC, если AD = 13 см, BC = 6 см.
РЕШЕНИЕ

49. Через конец А отрезка AB длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки B до прямой, если расстояние от точки A до прямой равно a.
РЕШЕНИЕ

50. Расстояния от точки A до всех сторон квадрата равны a. Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
РЕШЕНИЕ

51. Точка M, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние a, а от его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки M до плоскости угла.
РЕШЕНИЕ

52. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
РЕШЕНИЕ

53. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ= а, ВС=b, CD= с.
РЕШЕНИЕ

54. Даны прямая а и плоскость α. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости α.
РЕШЕНИЕ

55. Даны прямая а и плоскость α. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости α.
РЕШЕНИЕ

56. Из вершин A и B равностороннего треугольника ABC восстановлены перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка A1B1, если AB = 2 м, CA1 = 3 м; CB1 = 7 м и отрезок A1B1 не пересекает плоскость треугольника
РЕШЕНИЕ

57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскости трегольника
РЕШЕНИЕ

58. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
РЕШЕНИЕ

59. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если:1) AC = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м;2) АС = 3 м, BD = 4 м, СD = 12 м;3) AD = 4 м, ВС = 7 м. CD = 1 м; 4) AD = ВС = 5 м. CD = 1 м; 5) АС = a. CD = с. BD = Ь: 6) AD = а. ВС = b, CD = с.
РЕШЕНИЕ

60. Точка находится на расстоянии a и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
РЕШЕНИЕ

61. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости в проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки A до прямой b
РЕШЕНИЕ

62. Перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой c. В плоскости а проведена прямая a || c, в плоскости β — прямая b || c. Найдите расстояние между прямыми a и b, если расстояние между прямыми a и с равно 1,5 м, а между прямыми b и c — 0,8 м.
РЕШЕНИЕ