Задачи по теме § 5. Геометрические построения.
Погорелов 7 класс, 2002 г
Погорелов 7 класс, 2002 г
1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке
РЕШЕНИЕ
2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках
РЕШЕНИЕ
3. Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей
РЕШЕНИЕ
4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3
РЕШЕНИЕ
5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними
РЕШЕНИЕ
6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются
РЕШЕНИЕ
7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
8. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания
РЕШЕНИЕ
9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А
РЕШЕНИЕ
10. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу
РЕШЕНИЕ
11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания
РЕШЕНИЕ
12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см
РЕШЕНИЕ
13. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках
РЕШЕНИЕ
14. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1. 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках
РЕШЕНИЕ
15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке
РЕШЕНИЕ
16. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ рав ны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности
РЕШЕНИЕ
17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают
РЕШЕНИЕ
18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 = (AB +AC - BC) / 2
РЕШЕНИЕ
19. Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с
РЕШЕНИЕ
20. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD
РЕШЕНИЕ
21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки
РЕШЕНИЕ
22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
23. Постройте треугольник ABC по следующим данным: 1)по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40; б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70. 2) по стороне и прилежащим к ней углам: а) АВ = 6 см, ∠А = 30, ∠В = 50; б) АВ = 4 см, ∠А = 45, ∠В = 60
РЕШЕНИЕ
24. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
РЕШЕНИЕ
25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании
РЕШЕНИЕ
26. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник
РЕШЕНИЕ
27. Разделите угол на четыре равные части
РЕШЕНИЕ
28. Постройте углы 60 и 30
РЕШЕНИЕ
29. Дан треугольник. Постройте его медианы
РЕШЕНИЕ
30. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
РЕШЕНИЕ
31. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне
РЕШЕНИЕ
33. Дан треугольник. Постройте его высоты
РЕШЕНИЕ
34. Постройте окружность, описанную около данного треугольника
РЕШЕНИЕ
35. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету
РЕШЕНИЕ
36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание
РЕШЕНИЕ
37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону
РЕШЕНИЕ
38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них
РЕШЕНИЕ
39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте
РЕШЕНИЕ
40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
41. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h
РЕШЕНИЕ
42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой
РЕШЕНИЕ
43. Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С
РЕШЕНИЕ
44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек
РЕШЕНИЕ
45. Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D
РЕШЕНИЕ
46. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон
РЕШЕНИЕ
47. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон
РЕШЕНИЕ
48. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы
РЕШЕНИЕ
49. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности
РЕШЕНИЕ
50. Проведите общую касательную к двум данным окружностям
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках
РЕШЕНИЕ
3. Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей
РЕШЕНИЕ
4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3
РЕШЕНИЕ
5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними
РЕШЕНИЕ
6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются
РЕШЕНИЕ
7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ
РЕШЕНИЕ
8. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания
РЕШЕНИЕ
9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А
РЕШЕНИЕ
10. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу
РЕШЕНИЕ
11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания
РЕШЕНИЕ
12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см
РЕШЕНИЕ
13. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках
РЕШЕНИЕ
14. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1. 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках
РЕШЕНИЕ
15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке
РЕШЕНИЕ
16. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ рав ны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности
РЕШЕНИЕ
17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают
РЕШЕНИЕ
18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 = (AB +AC - BC) / 2
РЕШЕНИЕ
19. Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с
РЕШЕНИЕ
20. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD
РЕШЕНИЕ
21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки
РЕШЕНИЕ
22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
23. Постройте треугольник ABC по следующим данным: 1)по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40; б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70. 2) по стороне и прилежащим к ней углам: а) АВ = 6 см, ∠А = 30, ∠В = 50; б) АВ = 4 см, ∠А = 45, ∠В = 60
РЕШЕНИЕ
24. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
РЕШЕНИЕ
25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании
РЕШЕНИЕ
26. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник
РЕШЕНИЕ
27. Разделите угол на четыре равные части
РЕШЕНИЕ
28. Постройте углы 60 и 30
РЕШЕНИЕ
29. Дан треугольник. Постройте его медианы
РЕШЕНИЕ
30. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
РЕШЕНИЕ
31. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне
РЕШЕНИЕ
33. Дан треугольник. Постройте его высоты
РЕШЕНИЕ
34. Постройте окружность, описанную около данного треугольника
РЕШЕНИЕ
35. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету
РЕШЕНИЕ
36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание
РЕШЕНИЕ
37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону
РЕШЕНИЕ
38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них
РЕШЕНИЕ
39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте
РЕШЕНИЕ
40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности
РЕШЕНИЕ
41. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h
РЕШЕНИЕ
42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой
РЕШЕНИЕ
43. Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С
РЕШЕНИЕ
44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек
РЕШЕНИЕ
45. Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D
РЕШЕНИЕ
46. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон
РЕШЕНИЕ
47. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон
РЕШЕНИЕ
48. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы
РЕШЕНИЕ
49. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности
РЕШЕНИЕ
50. Проведите общую касательную к двум данным окружностям
РЕШЕНИЕ