Физические основы механики
§ 6. Механические колебания
Условия задач и ссылки на решения по данной теме:
1 Точка совершает колебания по закону x(t)=A cos(ωt+φ), где A=2 см. Определить начальную фазу, если х(0)=-sqrt(3) см и х (0)<0. Построить векторную диаграмму для момента t=0.
РЕШЕНИЕ
2 Материальная точка массой m=5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебаний A= 3 см. Определить скорость v точки в момент времени, когда смещение x=1,5 см; максимальную силу действующую на точку; 3) полную энергию E колеблющейся точки.
РЕШЕНИЕ
3 На концах тонкого стержня длиной l=1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период T колебаний, совершаемых стержнем.
РЕШЕНИЕ
4 Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой 3m1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=1/2 l и массой m1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период T колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
5 Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями x=Acos ω(t+τ) где А=1 см, A2=2 см, τ1=1/6 c, τ2=1/2 с, ω=π с-1. Определить начальные фазы составляющих колебаний. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
РЕШЕНИЕ
6 Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x = A1 cos ωt, y = A2 cos ω/2 t, где A1=1 см, A2=2 см, ω=π с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
РЕШЕНИЕ
6.1 Уравнение колебаний точки имеет вид x=A cos ω(t+τ), где ω=π с-1, τ=0,2 c. Определить период и начальную фазу колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.2 Определить период, частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением x=A sin ω(t+τ), где ω=2,5π с-1, τ=0,4 c.
РЕШЕНИЕ
6.3 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А=4 см. Определить начальную фазу φ, если... Построить векторную диаграмму для момента t=0
РЕШЕНИЕ
6.4 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А=4 см. Определить начальную фазу φ, если... Построить векторную диаграмму для момента t=0.
РЕШЕНИЕ
6.5 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А =2 см; ω=п с-1; φ=п/4 рад. Построить графики зависимости от времени смещения; скорости; ускорения
РЕШЕНИЕ
6.6 Точка совершает колебания с амплитудой А= 4 см и периодом Т=2 c. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент t=0 смещения х(0)=0 и х(0)<0. Определить фазу (ωt+φ) для двух моментов времени: когда смещение x=1 см и х>0; когда скорость x=-6 см/с и х<0.
РЕШЕНИЕ
6.7 Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом T=6 c. Диаметр окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось x, проходящую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось x равна нулю. Найти смещение x, скорость x и ускорение x проекции точки в момент t=1 c.
РЕШЕНИЕ
6.8 Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A=3 см и угловой частотой ω=π/2 с-1.
РЕШЕНИЕ
6.9 Точка совершает колебания по закону x=A cos ωt, где A=5 см; ω=2 с-1. Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость v=8 см/с.
РЕШЕНИЕ
6.10 Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость 20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное ускорение amax точки.
РЕШЕНИЕ
6.11 Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найти угловую частоту колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.
РЕШЕНИЕ
6.12 Точка совершает колебания по закону x=A sin ωt. В некоторый момент времени смещение точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение x2 стало равным 8 см. Найти амплитуду колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.13 Колебания точки происходят по закону x=A cos (ωt+φ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость v=20 см/с и ускорение a=-80 см/с2. Найти амплитуду A, угловую частоту ω, период Т колебаний и фазу (ωt+φ) в рассматриваемый момент времени.
РЕШЕНИЕ
6.14 Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A1=10 см и A2=6 см складываются в одно колебание с амплитудой A=14 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.15 Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.16 Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода: x1=A1 sin ωt и x2=A2 sin ω(t+τ), где A1=A2=1 см; ω=π с-1; τ=0,5 c. Найти уравнение результирующего колебания.
РЕШЕНИЕ
6.17 Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x1=A1 sin ωt и x2=A2 cos ωt, где A1=1 см; A2=2 см; ω= 1 с-1. Определить амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Найти уравнение этого движения.
РЕШЕНИЕ
6.18 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T1=T2=1,5 с и амплитудами А1=А2=2 см. Начальные фазы колебаний п/2 и п/3. Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
РЕШЕНИЕ
6.19 Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T1=T2=T3=2 с и амплитудами A1=A2=A3=3 см. Начальные фазы колебаний φ1=0, φ2=π/3, φ3=2π/3. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить из чертежа амплитуду A и начальную фазу φ результирующего колебания. Найти его уравнение.
РЕШЕНИЕ
6.20 Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: x1=A1 cos (ωt + φ1) и х2 = A2 cos(ωt+φ2). Начертить векторную диаграмму для момента времени t=0. Определить аналитически амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Отложить А и φ на векторной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в тригонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) А1 = 1 см, φ1=п/3; А2=2 см, φ2=5п/6; 2) А1 = 1 см, φ1=2п/3; А2=1 см, φ2=7п/6.
РЕШЕНИЕ
6.21 Два камертона звучат одновременно. Частоты их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период T биений.
РЕШЕНИЕ
6.22 Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ω(t+τ), где A1=2 см, A2=1 см, ω=π с-1, τ=0,5 c. Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки.
РЕШЕНИЕ
6.23 Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x=A1 cos ωt и y=А2 cos ω(t+τ), где A1=4 см, А2=8 см, ω=π с-1, τ=1 c. Найти уравнение траектории точки и построить график ее движения.
РЕШЕНИЕ
6.24 Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: 1) x=Аcos ωt и y=A cos ωt; 2) x=Аcosωt и y=A1 cos ωt; 3) x=Аcos ωt и y=Аcos (ωt+φ1); 4) х=A2 cos ωt и y=Acos (ωt + φ2); 5) х=А1cosωt и y=А1 sinωt; 6) х=Acos ωt и y=A1 sin ωt; 7) х=A2sinωt и у=A1 sin ωt; 8) x=A2 sin ωt и y=Asin (ωt+φ2).
РЕШЕНИЕ
6.25 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cosωt и y=A2sinωt, где A1=2 см, A2=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.26 Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ωt, где A1=0,5 см; A2=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.27 Движение точки задано уравнениями x=A1sinωt и y=A2sinω(t+τ), где A1=10 см, A2=5 см, ω=2 с-1, τ=π/4 c. Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени t=0,5 c.
РЕШЕНИЕ
6.28 Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cos ωt и y=-А2cos 2ωt, где A1=2 см, А2=1 см. Найти уравнение траектории и построить ее.
РЕШЕНИЕ
6.29 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и описываемых уравнениями... Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A =2 см; А1=3 см.
РЕШЕНИЕ
6.30 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cosωt и y=A2sin0,5ωt, где A1=2 см, A2=3 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.31 Смещение светящейся точки на экране осциллографа является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, которые описываются уравнениями...Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4 см.
РЕШЕНИЕ
6.32 Материальная точка массой m=50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x=A cos ωt, где A=10 см, ω=5 с-1. Найти силу, действующую на точку, в двух случаях в момент, когда фаза ωt=π/3; в положении наибольшего смещения точки.
РЕШЕНИЕ
6.33 Колебания материальной точки массой m=0,1 г происходят согласно уравнению x=Acosωt, где A=5 см, ω=20 с-1. Определить максимальные значения возвращающей силы Fmax и кинетической энергии Tmax.
РЕШЕНИЕ
6.34 Найти возвращающую силу в момент t=1 с и полную энергию E материальной точки, совершающей колебания по закону x=Аcosωt, где А=20 см; ω=2π/3 с-1. Масса материальной точки равна 10 г.
РЕШЕНИЕ
6.35 Колебания материальной точки происходят согласно уравнению x=Аcosωt, где А=8 см; ω=π/6 с-1. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенциальная энергия точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу
РЕШЕНИЕ
6.36 Грузик массой m=250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом T=1 c. Определить жесткость k пружины.
РЕШЕНИЕ
6.37 К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на x=9 см. Каков будет период T колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?
РЕШЕНИЕ
6.38 Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A=4 см. Определить полную энергию E колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.
РЕШЕНИЕ
6.39 Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
РЕШЕНИЕ
6.40 Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a=2,5 м/с2. Определить период T колебаний маятника.
РЕШЕНИЕ
6.41 На концах тонкого стержня длиной 30 см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d= 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.42 На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один-в середине стержня, другой-на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.43 Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l=30 см, колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.
РЕШЕНИЕ
6.44 Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.
РЕШЕНИЕ
6.45 Однородный диск радиусом R=30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?
РЕШЕНИЕ
6.46 Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
6.47 Из тонкого однородного диска радиусом R=20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом r=10 см, так, как это показано на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси O, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период Т колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
6.48 Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.49 Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение?
РЕШЕНИЕ
6.50 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев, изображенных на рис. 6.8. Длина l стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку.
РЕШЕНИЕ
6.51 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить частоту v гармонических колебаний маятника для случаев, изображенных на рис. 6.9. Длина стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.
РЕШЕНИЕ
6.52 Тело массой m=4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T1=0,8 c. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период Т2 колебаний стал равным 1,2 c. Радиус диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции тела относительно оси колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.53 Ареометр массой m=50 г, имеющий трубку диаметром d=1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.54 В открытую с обоих концов U-образную трубку с площадью поперечного сечения S=0,4 см2 быстро вливают ртуть массой m=200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.
РЕШЕНИЕ
6.55 Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая по сравнению с длиной его часть. Период Т колебаний бревна равен 5 c. Определить длину l бревна.
РЕШЕНИЕ
6.56 Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
РЕШЕНИЕ
6.57 За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания
РЕШЕНИЕ
6.58 Амплитуда колебаний маятника длиной l=1 м за время t=10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний
РЕШЕНИЕ
6.59 Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.
РЕШЕНИЕ
6.60 Гиря массой m=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний 0,004. Определить число полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n=2 раза. За какое время t произойдет это уменьшение?
РЕШЕНИЕ
6.61 Тело массой m=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления
РЕШЕНИЕ
6.62 Определить период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний 0,628.
РЕШЕНИЕ
6.63 Найти число полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в 2 раза. Логарифмический декремент колебаний 0,01
РЕШЕНИЕ
6.64 Тело массой m=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждое тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы. Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить коэффициент затухания; частоту колебаний; логарифмический декремент колебаний; число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.
РЕШЕНИЕ
6.65 Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения n якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?
РЕШЕНИЕ
6.66 Вагон массой m=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости и вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?
РЕШЕНИЕ
6.67 Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν0 собственных колебаний, если резонансная частота 998 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.68 Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν0=1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания 400 с-1.
РЕШЕНИЕ
6.69 Определить логарифмический декремент колебаний колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты v0=10 кГц на Δv=2 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.70 Период собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 c. В вязкой среде период Т того же маятника стал равным 0,56 c. Определить резонансную частоту колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.71 Пружинный маятник жесткость пружины равна 10 Н/м, масса груза равна 100 г совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=2*10-2 кг/с. Определить коэффициент затухания и резонансную амплитуду, если амплитудное значение вынуждающей силы F0=10 мН.
РЕШЕНИЕ
6.72 Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда 0,5 см и частота v0 собственных колебаний равна 10 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.73 Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν1=400 Гц и ν2=600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту. Затуханием пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.740 К спиральной пружине жесткостью k=10 Н/м подвесили грузик массой m=10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить частоту собственных колебаний; резонансную частоту; резонансную амплитуду, если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F0=0,02 Н; отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием силы F0.
РЕШЕНИЕ
6.75 Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты на 10%, в два раза? Коэффициент затухания в обоих случаях принять равным 0,1ω0 угловая частота собственных колебаний
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
2 Материальная точка массой m=5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебаний A= 3 см. Определить скорость v точки в момент времени, когда смещение x=1,5 см; максимальную силу действующую на точку; 3) полную энергию E колеблющейся точки.
РЕШЕНИЕ
3 На концах тонкого стержня длиной l=1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период T колебаний, совершаемых стержнем.
РЕШЕНИЕ
4 Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой 3m1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=1/2 l и массой m1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период T колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
5 Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями x=Acos ω(t+τ) где А=1 см, A2=2 см, τ1=1/6 c, τ2=1/2 с, ω=π с-1. Определить начальные фазы составляющих колебаний. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
РЕШЕНИЕ
6 Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x = A1 cos ωt, y = A2 cos ω/2 t, где A1=1 см, A2=2 см, ω=π с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
РЕШЕНИЕ
6.1 Уравнение колебаний точки имеет вид x=A cos ω(t+τ), где ω=π с-1, τ=0,2 c. Определить период и начальную фазу колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.2 Определить период, частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением x=A sin ω(t+τ), где ω=2,5π с-1, τ=0,4 c.
РЕШЕНИЕ
6.3 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А=4 см. Определить начальную фазу φ, если... Построить векторную диаграмму для момента t=0
РЕШЕНИЕ
6.4 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А=4 см. Определить начальную фазу φ, если... Построить векторную диаграмму для момента t=0.
РЕШЕНИЕ
6.5 Точка совершает колебания по закону x=А cos(ωt + φ), где А =2 см; ω=п с-1; φ=п/4 рад. Построить графики зависимости от времени смещения; скорости; ускорения
РЕШЕНИЕ
6.6 Точка совершает колебания с амплитудой А= 4 см и периодом Т=2 c. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент t=0 смещения х(0)=0 и х(0)<0. Определить фазу (ωt+φ) для двух моментов времени: когда смещение x=1 см и х>0; когда скорость x=-6 см/с и х<0.
РЕШЕНИЕ
6.7 Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом T=6 c. Диаметр окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось x, проходящую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось x равна нулю. Найти смещение x, скорость x и ускорение x проекции точки в момент t=1 c.
РЕШЕНИЕ
6.8 Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A=3 см и угловой частотой ω=π/2 с-1.
РЕШЕНИЕ
6.9 Точка совершает колебания по закону x=A cos ωt, где A=5 см; ω=2 с-1. Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость v=8 см/с.
РЕШЕНИЕ
6.10 Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость 20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное ускорение amax точки.
РЕШЕНИЕ
6.11 Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найти угловую частоту колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.
РЕШЕНИЕ
6.12 Точка совершает колебания по закону x=A sin ωt. В некоторый момент времени смещение точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение x2 стало равным 8 см. Найти амплитуду колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.13 Колебания точки происходят по закону x=A cos (ωt+φ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость v=20 см/с и ускорение a=-80 см/с2. Найти амплитуду A, угловую частоту ω, период Т колебаний и фазу (ωt+φ) в рассматриваемый момент времени.
РЕШЕНИЕ
6.14 Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A1=10 см и A2=6 см складываются в одно колебание с амплитудой A=14 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.15 Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.16 Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода: x1=A1 sin ωt и x2=A2 sin ω(t+τ), где A1=A2=1 см; ω=π с-1; τ=0,5 c. Найти уравнение результирующего колебания.
РЕШЕНИЕ
6.17 Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x1=A1 sin ωt и x2=A2 cos ωt, где A1=1 см; A2=2 см; ω= 1 с-1. Определить амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Найти уравнение этого движения.
РЕШЕНИЕ
6.18 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T1=T2=1,5 с и амплитудами А1=А2=2 см. Начальные фазы колебаний п/2 и п/3. Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
РЕШЕНИЕ
6.19 Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T1=T2=T3=2 с и амплитудами A1=A2=A3=3 см. Начальные фазы колебаний φ1=0, φ2=π/3, φ3=2π/3. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить из чертежа амплитуду A и начальную фазу φ результирующего колебания. Найти его уравнение.
РЕШЕНИЕ
6.20 Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: x1=A1 cos (ωt + φ1) и х2 = A2 cos(ωt+φ2). Начертить векторную диаграмму для момента времени t=0. Определить аналитически амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Отложить А и φ на векторной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в тригонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) А1 = 1 см, φ1=п/3; А2=2 см, φ2=5п/6; 2) А1 = 1 см, φ1=2п/3; А2=1 см, φ2=7п/6.
РЕШЕНИЕ
6.21 Два камертона звучат одновременно. Частоты их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период T биений.
РЕШЕНИЕ
6.22 Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ω(t+τ), где A1=2 см, A2=1 см, ω=π с-1, τ=0,5 c. Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки.
РЕШЕНИЕ
6.23 Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x=A1 cos ωt и y=А2 cos ω(t+τ), где A1=4 см, А2=8 см, ω=π с-1, τ=1 c. Найти уравнение траектории точки и построить график ее движения.
РЕШЕНИЕ
6.24 Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: 1) x=Аcos ωt и y=A cos ωt; 2) x=Аcosωt и y=A1 cos ωt; 3) x=Аcos ωt и y=Аcos (ωt+φ1); 4) х=A2 cos ωt и y=Acos (ωt + φ2); 5) х=А1cosωt и y=А1 sinωt; 6) х=Acos ωt и y=A1 sin ωt; 7) х=A2sinωt и у=A1 sin ωt; 8) x=A2 sin ωt и y=Asin (ωt+φ2).
РЕШЕНИЕ
6.25 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cosωt и y=A2sinωt, где A1=2 см, A2=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.26 Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ωt, где A1=0,5 см; A2=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.27 Движение точки задано уравнениями x=A1sinωt и y=A2sinω(t+τ), где A1=10 см, A2=5 см, ω=2 с-1, τ=π/4 c. Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени t=0,5 c.
РЕШЕНИЕ
6.28 Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cos ωt и y=-А2cos 2ωt, где A1=2 см, А2=1 см. Найти уравнение траектории и построить ее.
РЕШЕНИЕ
6.29 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и описываемых уравнениями... Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A =2 см; А1=3 см.
РЕШЕНИЕ
6.30 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1cosωt и y=A2sin0,5ωt, где A1=2 см, A2=3 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.
РЕШЕНИЕ
6.31 Смещение светящейся точки на экране осциллографа является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, которые описываются уравнениями...Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4 см.
РЕШЕНИЕ
6.32 Материальная точка массой m=50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x=A cos ωt, где A=10 см, ω=5 с-1. Найти силу, действующую на точку, в двух случаях в момент, когда фаза ωt=π/3; в положении наибольшего смещения точки.
РЕШЕНИЕ
6.33 Колебания материальной точки массой m=0,1 г происходят согласно уравнению x=Acosωt, где A=5 см, ω=20 с-1. Определить максимальные значения возвращающей силы Fmax и кинетической энергии Tmax.
РЕШЕНИЕ
6.34 Найти возвращающую силу в момент t=1 с и полную энергию E материальной точки, совершающей колебания по закону x=Аcosωt, где А=20 см; ω=2π/3 с-1. Масса материальной точки равна 10 г.
РЕШЕНИЕ
6.35 Колебания материальной точки происходят согласно уравнению x=Аcosωt, где А=8 см; ω=π/6 с-1. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенциальная энергия точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу
РЕШЕНИЕ
6.36 Грузик массой m=250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом T=1 c. Определить жесткость k пружины.
РЕШЕНИЕ
6.37 К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на x=9 см. Каков будет период T колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?
РЕШЕНИЕ
6.38 Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A=4 см. Определить полную энергию E колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.
РЕШЕНИЕ
6.39 Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
РЕШЕНИЕ
6.40 Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a=2,5 м/с2. Определить период T колебаний маятника.
РЕШЕНИЕ
6.41 На концах тонкого стержня длиной 30 см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d= 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.42 На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один-в середине стержня, другой-на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.43 Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l=30 см, колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.
РЕШЕНИЕ
6.44 Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.
РЕШЕНИЕ
6.45 Однородный диск радиусом R=30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?
РЕШЕНИЕ
6.46 Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
6.47 Из тонкого однородного диска радиусом R=20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом r=10 см, так, как это показано на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси O, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период Т колебаний такого маятника.
РЕШЕНИЕ
6.48 Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.49 Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение?
РЕШЕНИЕ
6.50 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев, изображенных на рис. 6.8. Длина l стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку.
РЕШЕНИЕ
6.51 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить частоту v гармонических колебаний маятника для случаев, изображенных на рис. 6.9. Длина стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.
РЕШЕНИЕ
6.52 Тело массой m=4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T1=0,8 c. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период Т2 колебаний стал равным 1,2 c. Радиус диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции тела относительно оси колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.53 Ареометр массой m=50 г, имеющий трубку диаметром d=1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.54 В открытую с обоих концов U-образную трубку с площадью поперечного сечения S=0,4 см2 быстро вливают ртуть массой m=200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.
РЕШЕНИЕ
6.55 Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая по сравнению с длиной его часть. Период Т колебаний бревна равен 5 c. Определить длину l бревна.
РЕШЕНИЕ
6.56 Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
РЕШЕНИЕ
6.57 За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания
РЕШЕНИЕ
6.58 Амплитуда колебаний маятника длиной l=1 м за время t=10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний
РЕШЕНИЕ
6.59 Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.
РЕШЕНИЕ
6.60 Гиря массой m=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний 0,004. Определить число полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n=2 раза. За какое время t произойдет это уменьшение?
РЕШЕНИЕ
6.61 Тело массой m=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления
РЕШЕНИЕ
6.62 Определить период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний 0,628.
РЕШЕНИЕ
6.63 Найти число полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в 2 раза. Логарифмический декремент колебаний 0,01
РЕШЕНИЕ
6.64 Тело массой m=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждое тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы. Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить коэффициент затухания; частоту колебаний; логарифмический декремент колебаний; число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.
РЕШЕНИЕ
6.65 Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения n якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?
РЕШЕНИЕ
6.66 Вагон массой m=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости и вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?
РЕШЕНИЕ
6.67 Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν0 собственных колебаний, если резонансная частота 998 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.68 Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν0=1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания 400 с-1.
РЕШЕНИЕ
6.69 Определить логарифмический декремент колебаний колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты v0=10 кГц на Δv=2 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.70 Период собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 c. В вязкой среде период Т того же маятника стал равным 0,56 c. Определить резонансную частоту колебаний.
РЕШЕНИЕ
6.71 Пружинный маятник жесткость пружины равна 10 Н/м, масса груза равна 100 г совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=2*10-2 кг/с. Определить коэффициент затухания и резонансную амплитуду, если амплитудное значение вынуждающей силы F0=10 мН.
РЕШЕНИЕ
6.72 Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда 0,5 см и частота v0 собственных колебаний равна 10 Гц.
РЕШЕНИЕ
6.73 Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν1=400 Гц и ν2=600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту. Затуханием пренебречь.
РЕШЕНИЕ
6.740 К спиральной пружине жесткостью k=10 Н/м подвесили грузик массой m=10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить частоту собственных колебаний; резонансную частоту; резонансную амплитуду, если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F0=0,02 Н; отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием силы F0.
РЕШЕНИЕ
6.75 Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты на 10%, в два раза? Коэффициент затухания в обоих случаях принять равным 0,1ω0 угловая частота собственных колебаний
РЕШЕНИЕ